12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 1. senaryo Test 2

$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + ax + b}$ fonksiyonu için $\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{4}{3}$ ve $f(x)$ fonksiyonunun $x = -1$ noktasında limiti olmadığı bilinmektedir.
Buna göre, $a+b$ değeri kaçtır?

A) -1

C) 1

D) 2

E) 3

• Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir fonksiyonun limit değerleri ve limitinin olmadığı bir nokta bilgisi verilmiş. Bu bilgilerden faydalanarak $a$ ve $b$ katsayılarını bulacak ve ardından $a+b$ değerini hesaplayacağız. Adım adım ilerleyelim.
• Adım 1: $\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{4}{3}$ bilgisini kullanalım.
  • Fonksiyonumuz $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + ax + b}$ şeklindedir.
  • Önce pay kısmını inceleyelim: $x^2 - 4$. $x \to 2$ için pay $2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$ olur.
  • Bir limitin sonucu sonlu ve sıfırdan farklı bir sayı ($\frac{4}{3}$) ise ve pay sıfıra gidiyorsa, paydanın da sıfıra gitmesi gerekir. Aksi takdirde limit ya $0$ ya da $\pm \infty$ olurdu. Bu durum, $\frac{0}{0}$ belirsizliği olduğunu gösterir.
  • Yani, payda $x^2 + ax + b$ ifadesi de $x=2$ için sıfır olmalıdır. $2^2 + a(2) + b = 0$ $4 + 2a + b = 0$ $2a + b = -4$ (Bu bizim ilk denklemimiz)
  • Şimdi fonksiyonu sadeleştirelim. Pay kısmını çarpanlarına ayıralım: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
  • Payda da $x=2$ için sıfır olduğuna göre, paydanın da bir çarpanı $(x-2)$ olmalıdır. O zaman payda $x^2 + ax + b = (x-2)(x-r)$ şeklinde yazılabilir, burada $r$ paydanın diğer köküdür.
  • Fonksiyonu tekrar yazıp limiti hesaplayalım: $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-r)}$
  • $x \ne 2$ olduğu için $(x-2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz: $\lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x-r}$
  • Şimdi $x=2$ değerini yerine koyalım: $\frac{2+2}{2-r} = \frac{4}{2-r}$
  • Bu limitin $\frac{4}{3}$ olduğu verilmişti: $\frac{4}{2-r} = \frac{4}{3}$ Bu eşitlikten $2-r = 3$ sonucunu çıkarırız. $r = 2-3 = -1$
  • Buna göre, paydanın kökleri $x=2$ ve $x=-1$'dir. Payda $x^2 + ax + b$ ifadesi $(x-2)(x-(-1))$ şeklinde yazılabilir. $x^2 + ax + b = (x-2)(x+1)$ $x^2 + ax + b = x^2 + x - 2x - 2$ $x^2 + ax + b = x^2 - x - 2$
  • Bu durumda, katsayıları karşılaştırarak $a$ ve $b$ değerlerini buluruz: $a = -1$ $b = -2$
  • Bulduğumuz $a$ ve $b$ değerlerini ilk denklemimiz olan $2a+b=-4$ ile kontrol edelim: $2(-1) + (-2) = -2 - 2 = -4$. Doğru.
• Adım 2: $f(x)$ fonksiyonunun $x = -1$ noktasında limiti olmadığı bilgisini kontrol edelim.
  • Bulduğumuz $a=-1$ ve $b=-2$ değerlerini fonksiyonda yerine yazalım: $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2}$
  • Paydayı çarpanlarına ayırmıştık: $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$.
  • Fonksiyonu sadeleşmiş haliyle yazalım (burada $x \ne 2$ varsayımıyla): $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} = \frac{x+2}{x+1}$
  • Şimdi $x=-1$ noktasındaki limiti inceleyelim: $\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{x+2}{x+1}$
  • $x \to -1$ için pay kısmı: $-1+2 = 1$. (Sıfırdan farklı)
  • $x \to -1$ için payda kısmı: $-1+1 = 0$.
  • Pay sıfırdan farklı bir sayıya giderken payda sıfıra gidiyorsa, limit $\pm \infty$ olur ve bu durumda limit yoktur. Örneğin, sağdan limit: $\lim_{x \to -1^+} \frac{x+2}{x+1} = \frac{1}{0^+} = +\infty$ Soldan limit: $\lim_{x \to -1^-} \frac{x+2}{x+1} = \frac{1}{0^-} = -\infty$
  • Sağdan ve soldan limitler farklı olduğu için (veya sonsuz olduğu için), $x=-1$ noktasında limit yoktur. Bu durum, soruda verilen ikinci koşulu sağlamaktadır.
• Adım 3: $a+b$ değerini hesaplayalım.
  • $a = -1$ ve $b = -2$ bulduk.
  • $a+b = -1 + (-2) = -3$.

Cevap A seçeneğidir.