Bu soruda, $f(x) = x^2 - 4$ fonksiyonunun $x$-ekseni ile arasında kalan kapalı bölgenin alanını bulmamız isteniyor. Bir fonksiyon ile $x$-ekseni arasındaki alanı bulmak için belirli integral kullanırız. Ancak, alan her zaman pozitif bir değer olduğu için, fonksiyonun $x$-ekseninin altında kaldığı bölgelerde integralin mutlak değerini almamız veya fonksiyonu negatif işaretle çarparak integral almamız gerekir.
Bu noktalar, integralin sınırlarını belirleyecektir. Fonksiyonun $x$-eksenini kestiği yerlerde $f(x) = 0$ olur.
$x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4$
$x = \pm \sqrt{4}$
$x_1 = -2$ ve $x_2 = 2$.
Yani, fonksiyon $x$-eksenini $x = -2$ ve $x = 2$ noktalarında kesmektedir. Bu noktalar, alanını hesaplayacağımız bölgenin başlangıç ve bitiş noktalarıdır.
$-2$ ile $2$ arasındaki bir değeri (örneğin $x=0$) fonksiyonda yerine koyarak fonksiyonun bu aralıkta $x$-ekseninin üstünde mi yoksa altında mı kaldığını anlayabiliriz.
$f(0) = 0^2 - 4 = -4$.
Bu değer negatif olduğu için, $x \in (-2, 2)$ aralığında $f(x)$ fonksiyonu $x$-ekseninin altında kalmaktadır. Alan pozitif bir değer olacağından, integral alırken fonksiyonun negatifini kullanmalıyız: $-f(x) = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$.
Alan $A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx$ şeklinde hesaplanır.
Önce integralin belirsiz halini alalım:
$\int (4 - x^2) dx = 4x - \frac{x^3}{3} + C$
Şimdi belirli integrali hesaplamak için üst sınırdan alt sınırı çıkaralım:
$A = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}$
$A = \left(4(2) - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4(-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right)$
$A = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 - \frac{-8}{3}\right)$
$A = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right)$
$A = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3}$
$A = 16 - \frac{16}{3}$
Ortak paydada toplayalım:
$A = \frac{16 \times 3}{3} - \frac{16}{3}$
$A = \frac{48}{3} - \frac{16}{3}$
$A = \frac{32}{3}$ birimkare.
Cevap D seçeneğidir.
