12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 1. senaryo Test 3

$\int_1^3 (3x^2-4x+1) dx$ belirli integralinin değeri kaçtır?

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 14

Belirli integral sorusunu adım adım çözelim: $\int_1^3 (3x^2-4x+1) dx$

• Adım 1: Fonksiyonun Belirsiz İntegralini (Ters Türevini) Bulma

Belirli integrali hesaplamak için öncelikle verilen $f(x) = 3x^2-4x+1$ fonksiyonunun belirsiz integralini, yani $F(x)$'i bulmamız gerekir. İntegral alma kurallarını hatırlayalım: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ ve $\int k dx = kx$ formüllerini kullanarak her terimi ayrı ayrı integre edelim.

İlk terim için: $\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.

İkinci terim için: $\int -4x dx = -4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2$.

Üçüncü terim için: $\int 1 dx = 1x = x$.

Böylece, $F(x) = x^3 - 2x^2 + x$ olarak bulunur. Bu, $f(x)$ fonksiyonunun ters türevidir.

• Adım 2: Belirli İntegral Formülünü Uygulama

Belirli integralin değeri, Analizin Temel Teoremi'ne göre $F(b) - F(a)$ formülü ile hesaplanır. Burada $a$ alt sınır ($1$), $b$ ise üst sınırdır ($3$).

$\int_1^3 (3x^2-4x+1) dx = [F(x)]_1^3 = F(3) - F(1)$

• Adım 3: Üst Sınırı Fonksiyonda Yerine Koyma ($F(3)$)

Şimdi $F(x)$ fonksiyonunda $x$ yerine üst sınır olan $3$'ü yazalım:

$F(3) = (3)^3 - 2(3)^2 + (3)$

$F(3) = 27 - 2(9) + 3$

$F(3) = 27 - 18 + 3$

$F(3) = 9 + 3 = 12$

• Adım 4: Alt Sınırı Fonksiyonda Yerine Koyma ($F(1)$)

Ardından $F(x)$ fonksiyonunda $x$ yerine alt sınır olan $1$'i yazalım:

$F(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + (1)$

$F(1) = 1 - 2(1) + 1$

$F(1) = 1 - 2 + 1$

$F(1) = 0$

• Adım 5: Sonucu Hesaplama

Son olarak, $F(3)$ değerinden $F(1)$ değerini çıkararak belirli integralin sonucunu bulalım:

$F(3) - F(1) = 12 - 0 = 12$

Bu belirli integralin değeri $12$'dir.

Cevap C seçeneğidir.