12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 2. senaryo meb Test 3

$\int (x \sqrt{x} + \frac{1}{x^2}) dx$ belirsiz integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) $\frac{2}{5}x^{5/2} - \frac{1}{x} + C$

B) $\frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{1}{x} + C$

C) $\frac{3}{2}x^{3/2} - \frac{1}{x} + C$

D) $\frac{1}{2}x^{1/2} + \frac{1}{x} + C$

E) $\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{x^3} + C$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir belirsiz integralin nasıl çözüldüğünü adım adım inceleyeceğiz. Temel integral alma kurallarını kullanarak sonuca ulaşacağız.

• Öncelikle, integralini almamız gereken ifadeyi daha basit bir biçimde yazalım. İntegral içindeki terimleri üslü sayı şeklinde ifade etmek, integral alma işlemini kolaylaştıracaktır.

  • İlk terim $x \sqrt{x}$ ifadesidir. Bunu $x^1 \cdot x^{1/2}$ olarak yazabiliriz. Üslü sayılarda çarpma işleminde tabanlar aynıysa üsler toplanır: $x^{1 + 1/2} = x^{2/2 + 1/2} = x^{3/2}$.
  • İkinci terim $\frac{1}{x^2}$ ifadesidir. Bunu da $x^{-2}$ olarak yazabiliriz.

  Böylece integralimiz şu hale gelir: $\int (x^{3/2} + x^{-2}) dx$.

• Şimdi integralin toplama kuralını uygulayalım. Bir toplamın integrali, terimlerin integrallerinin toplamına eşittir:

  $\int (x^{3/2} + x^{-2}) dx = \int x^{3/2} dx + \int x^{-2} dx$.

• Her bir terimin integralini ayrı ayrı alalım. Bunun için temel kuvvet kuralını kullanacağız: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (burada $n \neq -1$).

  • Birinci terim için ($x^{3/2}$): Burada $n = 3/2$.
  • Üsse 1 ekleyelim: $n+1 = 3/2 + 1 = 3/2 + 2/2 = 5/2$.
  • Bu yeni üsse bölelim: $\frac{x^{5/2}}{5/2}$.
  • Bu ifadeyi düzenlersek: $\frac{2}{5}x^{5/2}$.
  • İkinci terim için ($x^{-2}$): Burada $n = -2$.
  • Üsse 1 ekleyelim: $n+1 = -2 + 1 = -1$.
  • Bu yeni üsse bölelim: $\frac{x^{-1}}{-1}$.
  • Bu ifadeyi düzenlersek: $-x^{-1} = -\frac{1}{x}$.

• Son olarak, bulduğumuz integralleri bir araya getirelim ve belirsiz integralin sabitini ($C$) ekleyelim:

  $\int (x^{3/2} + x^{-2}) dx = \frac{2}{5}x^{5/2} - \frac{1}{x} + C$.

• Şimdi bu sonucu seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $\frac{2}{5}x^{5/2} - \frac{1}{x} + C$
  • B) $\frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{1}{x} + C$
  • C) $\frac{3}{2}x^{3/2} - \frac{1}{x} + C$
  • D) $\frac{1}{2}x^{1/2} + \frac{1}{x} + C$
  • E) $\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{x^3} + C$

  Bulduğumuz sonuç A seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.