Sevgili öğrenciler, belirli integral soruları, bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki birikimini veya alanını bulmamızı sağlar. Bu soruyu adım adım çözerek bu kavramı daha iyi anlayalım.
Bize verilen integral $\int_1^2 (3x^2 - 2x) dx$ şeklindedir. Burada integralini alacağımız fonksiyon $f(x) = 3x^2 - 2x$'tir. İntegral alma işlemi, türevin tersi bir işlemdir.
Öncelikle, $3x^2 - 2x$ fonksiyonunun belirsiz integralini almalıyız. İntegral alma kurallarını hatırlayalım: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Şimdi her bir terimin integralini ayrı ayrı alalım:
$3x^2$ teriminin integrali: $3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.
$-2x$ teriminin integrali: $-2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2$.
Böylece, $3x^2 - 2x$ fonksiyonunun belirsiz integrali $F(x) = x^3 - x^2$ olur. Belirli integralde $+C$ sabitini yazmamıza gerek yoktur, çünkü çıkarma işlemi sırasında birbirini götürecektir.
Belirli integralin değeri, üst sınırda (burada $x=2$) fonksiyonun antitürevinin değerinden, alt sınırda (burada $x=1$) fonksiyonun antitürevinin değerinin çıkarılmasıyla bulunur. Yani, $F(b) - F(a)$ formülünü kullanacağız.
Üst sınır ($x=2$) için $F(x)$ değerini hesaplayalım:
$F(2) = (2)^3 - (2)^2 = 8 - 4 = 4$.
Alt sınır ($x=1$) için $F(x)$ değerini hesaplayalım:
$F(1) = (1)^3 - (1)^2 = 1 - 1 = 0$.
Şimdi $F(2) - F(1)$ işlemini yapalım:
$F(2) - F(1) = 4 - 0 = 4$.
Bu durumda, $\int_1^2 (3x^2 - 2x) dx$ belirli integralinin değeri $4$'tür.
Cevap C seçeneğidir.
