$\int (3x^2 - 4x + 7) dx$ belirsiz integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) $x^3 - 2x^2 + 7x + C$
B) $x^3 - 4x^2 + 7x + C$
C) $6x - 4 + C$
D) $x^3 - 2x^2 + C$
E) $3x^3 - 4x^2 + 7x + C$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle belirsiz integral alma konusunu pekiştireceğiz. Karşımızdaki integral sorusu, temel integral kurallarını uygulayarak kolayca çözebileceğimiz bir yapıya sahip. Adım adım ilerleyelim ve bu integralin sonucunu birlikte bulalım.
-
İntegrali Parçalama: İlk olarak, integralini alacağımız ifade bir toplam ve fark içerdiği için, integrali her bir terim için ayrı ayrı yazabiliriz. Bu, integralin temel özelliklerinden biridir: $\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$.
Buna göre, ifademizi şu şekilde ayırabiliriz:
$\int (3x^2 - 4x + 7) dx = \int 3x^2 dx - \int 4x dx + \int 7 dx$
-
Sabit Çarpanları Dışarı Alma: İntegralin bir diğer özelliği de, sabit bir çarpanın integral dışına alınabilmesidir: $\int c \cdot f(x) dx = c \cdot \int f(x) dx$.
Bu kuralı uygulayarak ifademizi daha da basitleştirelim:
$3 \int x^2 dx - 4 \int x dx + \int 7 dx$
-
Her Bir Terimin İntegralini Alma (Kuvvet Kuralı): Şimdi her bir terimin integralini ayrı ayrı alalım. Burada en çok kullanacağımız kural, kuvvet kuralıdır: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (burada $n \neq -1$). Ayrıca, bir sabitin integrali $kx + C$ şeklindedir.
-
Birinci Terim: $3 \int x^2 dx$
Burada $n=2$. Kuvvet kuralını uygulayalım: $\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.
Şimdi bu sonucu baştaki $3$ ile çarpalım: $3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.
-
İkinci Terim: $- 4 \int x dx$
Burada $x$ aslında $x^1$ demektir, yani $n=1$. Kuvvet kuralını uygulayalım: $\int x^1 dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.
Şimdi bu sonucu baştaki $-4$ ile çarpalım: $-4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2$.
-
Üçüncü Terim: $+ \int 7 dx$
Bu bir sabit sayının integralidir. Bir sabitin integrali, o sabit ile $x$'in çarpımıdır: $7x$.
-
Sonuçları Birleştirme ve İntegral Sabitini Ekleme: Tüm terimlerin integrallerini bulduktan sonra, bu sonuçları bir araya getirip en sona belirsiz integralin olmazsa olmazı olan integral sabiti $C$'yi eklemeyi unutmayalım.
$x^3 - 2x^2 + 7x + C$
-
Seçeneklerle Karşılaştırma: Bulduğumuz bu sonucu seçeneklerle karşılaştırdığımızda, doğru cevabın A seçeneği olduğunu görüyoruz.
Gördüğünüz gibi, integral alma kurallarını adım adım uygulayarak doğru sonuca ulaştık. Unutmayın, pratik yaptıkça bu adımlar sizin için çok daha kolay ve hızlı hale gelecektir!
Cevap A seçeneğidir.
