12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 5. senaryo meb Test 3

$\int (\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}) dx$ belirsiz integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{x} + C$

B) $\frac{3}{2}x^{3/2} - \frac{1}{x} + C$

C) $\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^3} + C$

D) $\frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{1}{x} + C$

E) $\frac{2}{3}x^{3/2} - \ln|x^2| + C$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, temel integral kurallarını kullanarak bir belirsiz integral sorusunu adım adım çözeceğiz. Bu tür sorular, integral alma becerilerinizi geliştirmek için harika bir fırsattır. Hazırsanız başlayalım!

• Adım 1: İntegrali alınacak ifadeyi üslü biçimde yazma

İntegralini alacağımız ifade $\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}$ şeklindedir. İntegral alma kurallarını daha kolay uygulayabilmek için bu terimleri üslü biçimde yazalım:

• $\sqrt{x}$ ifadesi, $x^{1/2}$ olarak yazılabilir.
• $\frac{1}{x^2}$ ifadesi, $x^{-2}$ olarak yazılabilir.

Böylece integralimiz şu hale gelir: $\int (x^{1/2} + x^{-2}) dx$

• Adım 2: Toplamın integralini ayrı ayrı alma

İntegral alma kurallarından biri, bir toplamın integralinin, terimlerin ayrı ayrı integrallerinin toplamına eşit olmasıdır. Yani $\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$ kuralını uygulayabiliriz.

Bu durumda integralimiz iki parçaya ayrılır: $\int x^{1/2} dx + \int x^{-2} dx$

• Adım 3: Her bir terimin integralini alma (Üs Kuralı)

Şimdi her bir terim için temel integral alma kuralı olan "üs kuralını" uygulayalım. Üs kuralı şöyledir: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (burada $n \neq -1$).

• Birinci terim için ($x^{1/2}$):

Burada $n = 1/2$. Kuralı uygulayalım:

$\int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C_1 = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C_1$

Bu ifadeyi düzenlersek: $\frac{2}{3}x^{3/2} + C_1$ elde ederiz.

• İkinci terim için ($x^{-2}$):

Burada $n = -2$. Kuralı uygulayalım:

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} + C_2 = \frac{x^{-1}}{-1} + C_2$

Bu ifadeyi düzenlersek: $-x^{-1} + C_2 = -\frac{1}{x} + C_2$ elde ederiz.

• Adım 4: Sonuçları birleştirme

Şimdi bulduğumuz iki integral sonucunu birleştirelim. İntegral sabitlerini ($C_1$ ve $C_2$) tek bir $C$ sabiti olarak yazabiliriz.

$\int (\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}) dx = \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{x} + C$

• Adım 5: Seçeneklerle karşılaştırma

Bulduğumuz sonucu seçeneklerle karşılaştıralım:

• A) $\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{x} + C$
• B) $\frac{3}{2}x^{3/2} - \frac{1}{x} + C$
• C) $\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^3} + C$
• D) $\frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{1}{x} + C$
• E) $\frac{2}{3}x^{3/2} - \ln|x^2| + C$

Görüldüğü gibi, bulduğumuz sonuç A seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.