$\int x \cdot (x^2+3)^5 dx$ belirsiz integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\frac{(x^2+3)^6}{6} + C$
B) $\frac{(x^2+3)^6}{12} + C$
C) $\frac{x^2(x^2+3)^6}{12} + C$
D) $\frac{1}{2}(x^2+3)^6 + C$
E) $5x(x^2+3)^4 + C$
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda belirsiz integral alma yöntemlerinden biri olan "Değişken Değiştirme" (u-substitüsyon) yöntemini kullanarak çözüme ulaşacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Öncelikle integralimize dikkatlice bakalım: $\int x \cdot (x^2+3)^5 dx$. Bu tür integrallerde, genellikle bir ifadenin türevi integralin içinde başka bir çarpan olarak bulunuyorsa değişken değiştirme yöntemi işe yarar.
- Burada $(x^2+3)^5$ ifadesi dikkatimizi çekiyor. Eğer $u = x^2+3$ dersek, $u$'nun türevi olan $du$ ifadesi $x \, dx$ cinsinden bir ifade içerecektir.
- Şimdi $u$ değişkenini tanımlayalım: $u = x^2+3$.
- Her iki tarafın $x$'e göre türevini alalım ve $du$ ifadesini bulalım: $du = \frac{d}{dx}(x^2+3) \, dx \Rightarrow du = 2x \, dx$.
- İntegralimizde $x \, dx$ ifadesi bulunuyor. Bizim $du$ ifademiz ise $2x \, dx$. Bu durumda $x \, dx$ yerine $\frac{1}{2} du$ yazabiliriz. Yani, $x \, dx = \frac{1}{2} du$.
- Şimdi bu yeni $u$ ve $du$ ifadelerini orijinal integralimize yerleştirelim:
$\int x \cdot (x^2+3)^5 dx = \int (x^2+3)^5 \cdot x \, dx$
Bu ifadeyi $u$ ve $du$ cinsinden yazarsak:
$\int u^5 \cdot \frac{1}{2} du$
- Sabit çarpan olan $\frac{1}{2}$'yi integral dışına alabiliriz:
$\frac{1}{2} \int u^5 du$
- Şimdi temel integral alma kuralını uygulayalım: $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$. Burada $n=5$.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5+1}}{5+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^6}{6} + C$
- Bu ifadeyi sadeleştirelim:
$\frac{u^6}{12} + C$
- Son adım olarak, $u$ yerine tekrar $x^2+3$ yazarak orijinal değişkenimize geri dönelim:
$\frac{(x^2+3)^6}{12} + C$
Bu sonuç, seçenekler arasında B seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
