$f(x) = \int_1^x (t^2 - 3t + 2) dt$ olduğuna göre, $f'(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?
A) $x^2 - 3x + 2$
B) $2x - 3$
C) $x^2 - 3x + 2 - (1^2 - 3 \cdot 1 + 2)$
D) $0$
E) $t^2 - 3t + 2$
Bu soruyu çözmek için Kalkülüs'ün Temel Teoremi'nin birinci kısmını kullanacağız. Bu teorem, bir integralin türevinin nasıl alınacağını açıklar.
Kalkülüs'ün Temel Teoremi (Birinci Kısım): Eğer bir fonksiyon $F(x)$ aşağıdaki gibi tanımlanmışsa:
$$F(x) = \int_a^x g(t) dt$$
burada $a$ bir sabit ve $g(t)$ sürekli bir fonksiyondur, o zaman $F(x)$'in türevi $F'(x)$ aşağıdaki gibidir:
$$F'(x) = g(x)$$
Yani, integralin üst sınırı $x$ olduğunda ve alt sınırı bir sabit olduğunda, integralin türevi, integralin içindeki fonksiyonun değişkeni $t$ yerine $x$ yazılarak bulunur.
Şimdi sorumuzdaki fonksiyona bakalım:
$$f(x) = \int_1^x (t^2 - 3t + 2) dt$$
Bu ifadeyi Kalkülüs'ün Temel Teoremi ile karşılaştıralım:
Burada $g(t)$ fonksiyonu $t^2 - 3t + 2$'dir.
Alt sınır $a = 1$'dir (bir sabittir).
Üst sınır $x$'tir.
Teoremi uygulayarak $f'(x)$'i bulalım. Yapmamız gereken tek şey, integralin içindeki $g(t)$ fonksiyonunda $t$ yerine $x$ yazmaktır:
$$f'(x) = x^2 - 3x + 2$$
Bulduğumuz sonuç seçeneklere baktığımızda A seçeneği ile aynıdır.
