Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek integralin temel özelliklerini pekiştirelim.
Öncelikle, belirli integralin aralık birleştirme özelliğini kullanarak $\int_0^5 f(x) dx$ değerini bulalım. Bu özellik bize şunu söyler:
$\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$
Bu durumda, verilen bilgileri kullanarak:
$\int_0^5 f(x) dx = \int_0^3 f(x) dx + \int_3^5 f(x) dx$
Soruda verilen değerleri yerine yazarsak:
$\int_0^5 f(x) dx = 5 + 7 = 12$
Şimdi elimizde $\int_0^5 f(x) dx = 12$ bilgisi var.
Şimdi bizden istenen $\int_0^5 (2f(x) - 1) dx$ integralini hesaplayalım. İntegralin lineerlik özelliğini kullanarak bu ifadeyi iki ayrı integrale ayırabiliriz:
$\int_0^5 (2f(x) - 1) dx = \int_0^5 2f(x) dx - \int_0^5 1 dx$
İlk integrali, sabitin integral dışına alınması özelliğini kullanarak düzenleyelim:
$\int_0^5 2f(x) dx = 2 \int_0^5 f(x) dx$
Bir önceki adımda $\int_0^5 f(x) dx = 12$ bulmuştuk. Bu değeri yerine yazarsak:
$2 \int_0^5 f(x) dx = 2 \times 12 = 24$
Şimdi ikinci integrali, yani sabit bir sayının integralini hesaplayalım:
$\int_0^5 1 dx$
Sabit bir sayının belirli integrali, o sayının integral alma aralığının uzunluğu ile çarpımına eşittir. Yani:
$\int_a^b c dx = c \times (b - a)$
Burada $c=1$, $a=0$ ve $b=5$ olduğundan:
$\int_0^5 1 dx = 1 \times (5 - 0) = 1 \times 5 = 5$
Son olarak, bulduğumuz bu iki değeri birleştirerek istenen integralin sonucunu elde edelim:
$\int_0^5 (2f(x) - 1) dx = \left(2 \int_0^5 f(x) dx\right) - \left(\int_0^5 1 dx\right)$
$\int_0^5 (2f(x) - 1) dx = 24 - 5 = 19$
Böylece, integralin temel özelliklerini kullanarak sorunun cevabını $19$ olarak bulduk.
Cevap D seçeneğidir.
