Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir parabol ile $x$-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanını bulacağız. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
1. Eğrinin x-eksenini Kestiği Noktaları Bulma:
Öncelikle, $y = x^2 - 4$ eğrisinin $x$-eksenini kestiği noktaları bulmalıyız. Bu noktalar, $y=0$ olduğunda elde edilir.
$x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$
Yani, eğri $x$-eksenini $x = -2$ ve $x = 2$ noktalarında keser. Bu noktalar, integralimizin sınırlarını oluşturacaktır.
2. Bölgenin Konumunu Belirleme:
$y = x^2 - 4$ bir paraboldür ve kolları yukarı doğrudur. $x$-eksenini $x=-2$ ve $x=2$ noktalarında kestiği için, bu aralıkta ($(-2, 2)$ aralığında) parabol $x$-ekseninin altında kalır. Örneğin, $x=0$ noktasında $y = 0^2 - 4 = -4$ olur. Bu durumda, alan hesabı yaparken integralin sonucunun pozitif olması için fonksiyonun negatifini almamız gerekir.
3. Alan İçin Belirli İntegrali Kurma:
Eğri $x$-ekseninin altında kaldığı için, alanı bulmak için $\int_{a}^{b} -f(x) dx$ formülünü kullanırız. Burada $f(x) = x^2 - 4$ ve sınırlarımız $a=-2$, $b=2$'dir.
Alan $= \int_{-2}^{2} -(x^2 - 4) dx$
Alan $= \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx$
4. Belirli İntegrali Hesaplama:
Şimdi bu integrali hesaplayalım:
Alan $= [4x - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{2}$
Önce üst sınırı ($x=2$) yerine koyalım:
$[4(2) - \frac{2^3}{3}] = [8 - \frac{8}{3}]$
Şimdi alt sınırı ($x=-2$) yerine koyalım:
$[4(-2) - \frac{(-2)^3}{3}] = [-8 - \frac{-8}{3}] = [-8 + \frac{8}{3}]$
Bu iki değeri birbirinden çıkaralım:
Alan $= (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3})$
Alan $= 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3}$
Alan $= 16 - \frac{16}{3}$
Paydaları eşitleyelim:
Alan $= \frac{16 \times 3}{3} - \frac{16}{3}$
Alan $= \frac{48}{3} - \frac{16}{3}$
Alan $= \frac{32}{3}$
Böylece, eğri ile $x$-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanını $\frac{32}{3}$ birimkare olarak buluruz.
Cevap D seçeneğidir.
