Merkezi $(2, -3)$ ve yarıçapı $5$ birim olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 5$
B) $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 5$
C) $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$
D) $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 25$
E) $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$
Merkezi ve yarıçapı bilinen bir çemberin denklemini bulmak, analitik geometrinin temel konularından biridir. Bu tür soruları çözmek için belirli bir formülü bilmek ve doğru adımları takip etmek yeterlidir.
1. Çember Denkleminin Genel Formunu Hatırlayalım:
- Bir çemberin merkezi $(h, k)$ ve yarıçapı $r$ ise, bu çemberin denklemi şu şekildedir:
- $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$
- Bu formül, çember üzerindeki herhangi bir $(x, y)$ noktasının merkeze olan uzaklığının her zaman yarıçapa eşit olduğu bilgisinden gelir.
2. Soruda Verilen Bilgileri Belirleyelim:
- Soruda bize çemberin merkezi $(2, -3)$ olarak verilmiş. Bu durumda, $h = 2$ ve $k = -3$ olur.
- Çemberin yarıçapı ise $5$ birim olarak verilmiş. Yani, $r = 5$ olur.
3. Bilgileri Genel Denkleme Yerleştirelim:
- Şimdi bulduğumuz $h$, $k$ ve $r$ değerlerini genel çember denklemine yerleştirelim:
- $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$
- $(x-2)^2 + (y-(-3))^2 = 5^2$
4. Denklemi Sadeleştirelim:
- Denklemdeki işlemleri yapalım:
- Öncelikle, $y-(-3)$ ifadesi $y+3$ haline gelir. Çünkü iki eksi işareti yan yana geldiğinde artıya dönüşür.
- Ardından, yarıçapın karesini alalım: $5^2 = 25$.
- Bu durumda denklemimiz şu şekli alır: $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$
5. Seçeneklerle Karşılaştıralım:
- Elde ettiğimiz denklem $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$ şeklindedir.
- Şimdi bu denklemi verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 5$ (Yarıçapın karesi yanlış)
- B) $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 5$ (Merkez koordinatlarının işaretleri ve yarıçapın karesi yanlış)
- C) $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$ (Bu bizim bulduğumuz denklemle tamamen aynıdır!)
- D) $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 25$ (Merkez koordinatlarının işaretleri yanlış)
- E) $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$ (Merkezin $y$ koordinatının işareti yanlış)
Gördüğünüz gibi, doğru denklem C seçeneğinde verilmiştir.
Cevap C seçeneğidir.
