Merkezi $(-1, 4)$ olan ve $(3, 1)$ noktasından geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(x+1)^2 + (y-4)^2 = 5$
B) $(x+1)^2 + (y-4)^2 = 25$
C) $(x-1)^2 + (y+4)^2 = 25$
D) $(x+1)^2 + (y-4)^2 = 100$
E) $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 25$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle çember denklemi konusunu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözeceğiz. Bir çemberin denklemini yazabilmek için iki temel bilgiye ihtiyacımız vardır: çemberin merkezi ve yarıçapı. Haydi sorumuzu bu bilgiler ışığında inceleyelim!
- 1. Adım: Çemberin Merkezini Belirleyelim
- Soruda bize çemberin merkezinin $C(-1, 4)$ olduğu açıkça verilmiş. Çemberin genel denklemi $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ şeklinde olduğundan, burada $a = -1$ ve $b = 4$ olacaktır.
- Bu bilgiyi denkleme yerleştirdiğimizde, çemberin denklemi şimdilik $(x - (-1))^2 + (y - 4)^2 = r^2$ yani $(x+1)^2 + (y-4)^2 = r^2$ şeklini alır.
- 2. Adım: Çemberin Yarıçapını ($r$) Bulalım
- Yarıçap, çemberin merkezi ile çember üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki uzaklıktır. Soruda bize çemberin $(3, 1)$ noktasından geçtiği söyleniyor. Yani, merkez $C(-1, 4)$ ile $P(3, 1)$ noktası arasındaki uzaklık, çemberin yarıçapı $r$ olacaktır.
- İki nokta arasındaki uzaklık formülünü hatırlayalım: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
- Bu formülü kullanarak yarıçapı hesaplayalım:
- $r = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 4)^2}$
- $r = \sqrt{(3 + 1)^2 + (-3)^2}$
- $r = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2}$
- $r = \sqrt{16 + 9}$
- $r = \sqrt{25}$
- $r = 5$
- Yarıçapımız $r=5$ olarak bulundu.
- 3. Adım: Çemberin Denklemini Yazalım
- Şimdi elimizdeki bilgileri (merkez $C(-1, 4)$ ve yarıçap $r=5$) çemberin genel denkleminde yerine koyalım:
- $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
- $(x - (-1))^2 + (y - 4)^2 = 5^2$
- $(x+1)^2 + (y-4)^2 = 25$
- 4. Adım: Seçeneklerle Karşılaştıralım
- Bulduğumuz denklem $(x+1)^2 + (y-4)^2 = 25$ şeklindedir. Seçeneklere baktığımızda, bu denklemin B seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
