Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, mutlak değer içeren bir fonksiyonun türevlenemediği noktaları nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$.
- Öncelikle, mutlak değer fonksiyonlarının türevlenemediği noktaların temel mantığını hatırlayalım. Bir $g(x) = |h(x)|$ fonksiyonu, genellikle $h(x) = 0$ olduğu ve bu noktalarda $h(x)$ işaret değiştirdiği (yani grafiğinde "köşe" veya "kırılma" oluştuğu) durumlarda türevlenemez. Matematiksel olarak, $h(a) = 0$ ve $h'(a) \neq 0$ ise $x=a$ noktasında $g(x)$ türevlenemez.
- Şimdi, fonksiyonumuzdaki mutlak değerin içindeki ifadeyi $h(x)$ olarak tanımlayalım: $h(x) = x^2 - 4x + 3$.
- Türevlenemeyen noktaları bulmak için ilk adımımız, $h(x)$ ifadesini sıfıra eşitlemek ve köklerini bulmaktır. Bu kökler, potansiyel türevlenemeyen noktalardır.
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırabiliriz:
$(x - 1)(x - 3) = 0$
Buradan denklemin kökleri $x_1 = 1$ ve $x_2 = 3$ olarak bulunur.
- Şimdi, bu köklerde $h(x)$'in işaret değiştirip değiştirmediğini kontrol etmemiz gerekiyor. Bunu anlamanın en kolay yolu, $h(x)$'in türevini alıp bu köklerdeki değerine bakmaktır. Eğer $h'(x)$ köklerde sıfırdan farklı bir değer alıyorsa, o zaman o noktada bir "köşe" oluşur ve fonksiyon türevlenemez.
$h(x)$'in türevini alalım:
$h'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 3) = 2x - 4$
- Bulduğumuz kökleri $h'(x)$'te yerine koyarak kontrol edelim:
- $x_1 = 1$ için:
$h'(1) = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2$
$h'(1) = -2 \neq 0$ olduğu için, $x=1$ noktasında $f(x)$ türevlenemez.
- $x_2 = 3$ için:
$h'(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$
$h'(3) = 2 \neq 0$ olduğu için, $x=3$ noktasında $f(x)$ türevlenemez.
- Görüldüğü gibi, hem $x=1$ hem de $x=3$ noktalarında fonksiyonumuz türevlenemez. Soru bizden bu noktaların apsisleri toplamını istiyor.
- Apsisler toplamı: $1 + 3 = 4$.
Cevap D seçeneğidir.
