12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 6. senaryo meb Test 3

$ y = x^2 $ eğrisi ile $ x = 1 $, $ x = 3 $ doğruları ve $ x $-ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) $ \frac{26}{3} $

B) $ \frac{28}{3} $

C) $ \frac{30}{3} $

D) $ \frac{32}{3} $

E) $ \frac{34}{3} $

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda belirli integral kullanarak bir eğri ile doğrular arasında kalan alanı bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Problemi Anlama ve Alanı Belirleme:

  Bize verilen eğri $ y = x^2 $ parabolüdür. Alanını bulmak istediğimiz bölge, bu eğri ile $ x = 1 $ doğrusu, $ x = 3 $ doğrusu ve $ x $-ekseni arasında kalan bölgedir. Bu bölge $ x $-ekseninin üzerinde yer almaktadır çünkü $ x $ değerleri $ 1 $ ile $ 3 $ arasında pozitif olduğundan $ y = x^2 $ de pozitif olacaktır. Dolayısıyla, alanı bulmak için doğrudan belirli integral kullanabiliriz.

• 2. İntegral Sınırlarını ve Fonksiyonu Belirleme:

  Alanını hesaplayacağımız fonksiyon $ f(x) = x^2 $ dir. İntegralimizin alt sınırı $ x = 1 $ ve üst sınırı $ x = 3 $ olacaktır. Bu durumda, alan $ A $ aşağıdaki belirli integral ile bulunur:

  $ A = \int_{1}^{3} x^2 \, dx $

• 3. Belirli İntegrali Hesaplama:

  Şimdi $ x^2 $ fonksiyonunun belirsiz integralini (antiderivatifini) bulalım. Üs kuralını kullanarak $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ formülünü uygulayabiliriz:

  $ \int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} $

  Şimdi bu antiderivatifi belirli integralin sınırları arasında değerlendirelim (Newton-Leibniz formülü):

  $ A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} $

• 4. Sınır Değerlerini Yerine Koyma ve Hesaplama:

  Önce üst sınırı ($ x = 3 $) yerine koyup, sonra alt sınırı ($ x = 1 $) yerine koyup bu iki değeri birbirinden çıkarırız:

  $ A = \left( \frac{3^3}{3} \right) - \left( \frac{1^3}{3} \right) $

  $ A = \left( \frac{27}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} \right) $

  $ A = \frac{27 - 1}{3} $

  $ A = \frac{26}{3} $

Böylece, istenen bölgenin alanı $ \frac{26}{3} $ birimkare olarak bulunur.

Cevap A seçeneğidir.