Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, ideal bir akışkanın boru içindeki hareketini ve kesit alanı değiştiğinde hız ile basıncın nasıl etkilendiğini inceleyeceğiz. Akışkanlar mekaniğinin iki temel ilkesi olan Süreklilik Denklemi ve Bernoulli İlkesi'ni kullanarak doğru cevabı bulacağız.
Süreklilik Denklemi, ideal ve sıkıştırılamaz bir akışkan için borunun herhangi bir kesitinden birim zamanda geçen akışkan hacminin (hacimsel debi) sabit kaldığını ifade eder. Yani, akışkanın aktığı borunun kesit alanı ile akışkanın hızının çarpımı her noktada aynıdır.
Matematiksel olarak bu durum şu şekilde ifade edilir:
$A \cdot v = \text{sabit}$
Burada $A$ kesit alanı, $v$ ise akışkanın hızıdır.
Soruda verilen $K$ ve $L$ noktaları için bu denklemi yazarsak:
$A_K v_K = A_L v_L$
Bize verilen bilgiye göre $A_K > A_L$'dir. Bu durumda, eşitliğin sağlanabilmesi için kesit alanı büyük olan yerde hızın küçük, kesit alanı küçük olan yerde hızın büyük olması gerekir. Yani:
Eğer $A_K > A_L$ ise, o zaman $v_K < v_L$ olmalıdır.
Bu, akışkanın dar kesitten geçerken hızlandığı, geniş kesitten geçerken yavaşladığı anlamına gelir. Tıpkı bir bahçe hortumunun ucunu sıktığımızda suyun daha hızlı akması gibi düşünebilirsiniz.
Bernoulli İlkesi, ideal bir akışkanın bir akım çizgisi boyunca hareket ederken, akışkanın statik basıncı ($P$), kinetik enerji yoğunluğu ($\frac{1}{2} \rho v^2$) ve potansiyel enerji yoğunluğunun ($\rho g h$) toplamının sabit kaldığını belirtir.
Matematiksel olarak bu durum şu şekilde ifade edilir:
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{sabit}$
Burada $P$ basınç, $\rho$ akışkanın yoğunluğu, $v$ akışkanın hızı, $g$ yerçekimi ivmesi ve $h$ ise yüksekliği ifade eder.
Soruda borunun yüksekliği ile ilgili bir bilgi verilmediği için, borunun yatay olduğunu veya $K$ ve $L$ noktalarının aynı yükseklikte olduğunu varsayabiliriz. Bu durumda $\rho g h$ terimi her iki nokta için de aynı olacağından, denklem şu şekilde basitleşir:
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{sabit}$
Şimdi bu denklemi $K$ ve $L$ noktaları için yazalım:
$P_K + \frac{1}{2} \rho v_K^2 = P_L + \frac{1}{2} \rho v_L^2$
Birinci adımda $v_K < v_L$ olduğunu bulmuştuk. Bu durumda, $v_K$ daha küçük olduğu için $\frac{1}{2} \rho v_K^2$ terimi de $\frac{1}{2} \rho v_L^2$ teriminden daha küçük olacaktır.
Eşitliğin korunabilmesi için, eğer $\frac{1}{2} \rho v_K^2$ daha küçükse, $P_K$'nın $P_L$'den daha büyük olması gerekir. Yani:
Eğer $v_K < v_L$ ise, o zaman $P_K > P_L$ olmalıdır.
Bu, akışkanın hızının arttığı yerde basıncının düştüğü, hızının azaldığı yerde ise basıncının arttığı anlamına gelir. Bu ters orantı, Bernoulli İlkesi'nin temel çıkarımlarından biridir.
Süreklilik Denklemi'nden: $v_K < v_L$
Bernoulli İlkesi'nden: $P_K > P_L$
Bu iki sonucu birleştirdiğimizde, doğru ilişkinin $v_K < v_L$ ve $P_K > P_L$ olduğunu görürüz.
Seçeneklere baktığımızda, bu ilişkiyi C seçeneği vermektedir.
Cevap C seçeneğidir.
