11. sınıf fizik 2. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 2

Şekildeki gibi sayfa düzlemine dik, içeri doğru yönelmiş düzgün bir manyetik alana, aynı noktadan farklı hızlarla giren iki protonun izlediği yörüngeler verilmiştir.

• I. Parçacıkların periyotları farklıdır.
• II. Hızı büyük olan parçacığın yörünge yarıçapı daha büyüktür.
• III. Parçacıkların kinetik enerjileri aynı ise yörünge yarıçapları da aynıdır.

Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur? (Sürtünmeler önemsizdir.)

A) Yalnız I

B) Yalnız II

C) I ve II

D) II ve III

E) I, II ve III

Sevgili öğrenciler, bu soruda manyetik alana giren yüklü parçacıkların hareketini inceleyeceğiz. Manyetik alan içinde hareket eden yüklü bir parçacığa etki eden kuvvet, parçacığın izleyeceği yörüngeyi belirler. Bu kuvvet, Lorentz kuvveti olarak bilinir ve hız vektörüne her zaman diktir. Bu nedenle parçacık düzgün çembersel hareket yapar.

• Lorentz Kuvveti ve Çembersel Hareket:

  Manyetik alana dik olarak giren $q$ yüklü, $m$ kütleli ve $v$ hızlı bir parçacığa etki eden manyetik kuvvetin büyüklüğü $F_B = qvB$ şeklindedir. Bu kuvvet, parçacığın çembersel yörüngede hareket etmesini sağlayan merkezcil kuvvettir. Merkezcil kuvvetin büyüklüğü ise $F_c = \frac{mv^2}{r}$'dir. Bu iki kuvveti birbirine eşitleyerek parçacığın yörünge yarıçapını ve periyodunu bulabiliriz:

  $qvB = \frac{mv^2}{r}$

  Bu denklemden yörünge yarıçapı $r$ için ifadeyi çekelim:

  $r = \frac{mv}{qB}$

  Parçacığın çembersel yörüngede bir tam tur atması için geçen süreye periyot ($T$) denir. Periyot, yörünge çevresinin hıza bölünmesiyle bulunur:

  $T = \frac{2\pi r}{v}$

  $r$ ifadesini yerine yazarsak:

  $T = \frac{2\pi (mv/qB)}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$

• İfadelerin Değerlendirilmesi:

  Şimdi verilen ifadeleri bu denklemler ışığında inceleyelim. İki parçacık da proton olduğu için kütleleri ($m$) ve yükleri ($q$) aynıdır. Manyetik alan ($B$) da düzgün ve aynıdır.

• I. Parçacıkların periyotları farklıdır.

  Periyot formülü $T = \frac{2\pi m}{qB}$ idi. Bu formülde $m$, $q$ ve $B$ değerleri her iki proton için de aynıdır. Dolayısıyla, parçacıkların hızları farklı olsa bile periyotları aynı olacaktır. Bu ifade yanlıştır.

• II. Hızı büyük olan parçacığın yörünge yarıçapı daha büyüktür.

  Yörünge yarıçapı formülü $r = \frac{mv}{qB}$ idi. Bu formülde $m$, $q$ ve $B$ sabit olduğundan, yarıçap ($r$) hız ($v$) ile doğru orantılıdır. Yani, hızı büyük olan parçacığın yörünge yarıçapı da büyük olacaktır. Bu ifade doğrudur.

• III. Parçacıkların kinetik enerjileri aynı ise yörünge yarıçapları da aynıdır.

  Kinetik enerji $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ olarak verilir. Yarıçap formülünü ($r = \frac{mv}{qB}$) kullanarak hızı ($v = \frac{rqB}{m}$) kinetik enerji denkleminde yerine yazalım:

  $E_k = \frac{1}{2}m \left(\frac{rqB}{m}\right)^2$

  $E_k = \frac{1}{2}m \frac{r^2q^2B^2}{m^2}$

  $E_k = \frac{r^2q^2B^2}{2m}$

  Bu denklemden $r$ için ifadeyi çekelim:

  $r^2 = \frac{2mE_k}{q^2B^2}$

  $r = \frac{\sqrt{2mE_k}}{qB}$

  Bu formülde $m$, $q$ ve $B$ sabit değerlerdir. Eğer parçacıkların kinetik enerjileri ($E_k$) de aynı ise, yörünge yarıçapları ($r$) da aynı olacaktır. Bu ifade doğrudur.

Sonuç olarak, II ve III numaralı ifadeler doğrudur.

Cevap D seçeneğidir.