1. Bir ABC üçgeninde a = 6 cm, b = 8 cm ve c = 10 cm olarak veriliyor. Bu üçgen için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Üçgen dar açılıdır
B) Üçgen geniş açılıdır
C) Üçgen dik açılıdır
D) Kosinüs teoremi bu üçgene uygulanamaz
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve bizden bu üçgenin türünü belirlememiz isteniyor. Bir üçgenin kenar uzunlukları verildiğinde, onun dar açılı, geniş açılı veya dik açılı olup olmadığını anlamak için Pisagor teoremini ve onun genelleştirilmiş halini kullanırız.
- Verilen Bilgileri Anlayalım:
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları şu şekildedir:
- $a = 6$ cm
- $b = 8$ cm
- $c = 10$ cm
Burada $a$, $A$ açısının karşısındaki kenarı; $b$, $B$ açısının karşısındaki kenarı; $c$, $C$ açısının karşısındaki kenarı temsil eder.
- Üçgen Türlerini Belirleme Kuralını Hatırlayalım:
Bir üçgenin kenar uzunlukları $x, y, z$ olsun ve $z$ en uzun kenar olmak üzere:
- Eğer $x^2 + y^2 = z^2$ ise, üçgen dik açılıdır (en uzun kenarın karşısındaki açı $90^\circ$'dir). Bu, Pisagor teoremidir.
- Eğer $x^2 + y^2 > z^2$ ise, üçgen dar açılıdır (tüm açıları $90^\circ$'den küçüktür).
- Eğer $x^2 + y^2 < z^2$ ise, üçgen geniş açılıdır (en uzun kenarın karşısındaki açı $90^\circ$'den büyüktür).
- Verilen Kenar Uzunluklarını Kurala Uygulayalım:
Kenar uzunluklarımız $6, 8, 10$ cm'dir. En uzun kenar $c = 10$ cm'dir. Şimdi Pisagor teoremini kontrol edelim:
- $a^2 = 6^2 = 36$
- $b^2 = 8^2 = 64$
- $c^2 = 10^2 = 100$
Şimdi $a^2 + b^2$ toplamını hesaplayalım ve $c^2$ ile karşılaştıralım:
- $a^2 + b^2 = 36 + 64 = 100$
Gördüğümüz gibi, $a^2 + b^2 = 100$ ve $c^2 = 100$. Yani $a^2 + b^2 = c^2$ eşitliği sağlanmaktadır.
- Sonucu Yorumlayalım:
Pisagor teoremi olan $a^2 + b^2 = c^2$ eşitliği sağlandığı için, bu üçgen dik açılıdır. Bu durumda, $c$ kenarının karşısındaki $C$ açısı $90^\circ$ (dik açı) olacaktır.
- Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) Üçgen dar açılıdır: Yanlış, çünkü $a^2 + b^2 = c^2$ eşitliği sağlandı.
- B) Üçgen geniş açılıdır: Yanlış, çünkü $a^2 + b^2 = c^2$ eşitliği sağlandı.
- C) Üçgen dik açılıdır: Doğru, çünkü $6^2 + 8^2 = 10^2$ eşitliği sağlanmaktadır.
- D) Kosinüs teoremi bu üçgene uygulanamaz: Yanlış. Kosinüs teoremi tüm üçgenlere uygulanabilir. Hatta dik üçgen, kosinüs teoreminin özel bir durumudur. Örneğin, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$ formülünde, eğer $C = 90^\circ$ ise $\cos(90^\circ) = 0$ olur ve formül $c^2 = a^2 + b^2$ Pisagor teoremine dönüşür.
Cevap C seçeneğidir.
