Soru:
Kenar uzunlukları \( 6 \), \( 8 \) ve \( 11 \) birim olan bir üçgen veriliyor. \( 11 \) birimlik kenarı gören açının (\( \theta \)) kosinüs değerini ve ardından açının ölçüsünü bulunuz.
Çözüm:
💡 Burada üç kenar da biliniyor ve bir açıyı bulmamız isteniyor. Kosinüs teoremini, bilinmeyen açıyı içerecek şekilde yeniden düzenleyeceğiz. \( 11 \) birimlik kenar \( c \) olsun. Teorem: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta) \). Buradan \( \cos(\theta) \)'yı çekelim.
- ➡️ İlk adım: Formülü \( \cos(\theta) \) için düzenleme.
\( \cos(\theta) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \)
- ➡️ İkinci adım: Değerleri yerine koyma (\( a=6, b=8, c=11 \)).
\( \cos(\theta) = \frac{6^2 + 8^2 - 11^2}{2 \cdot 6 \cdot 8} \)
- ➡️ Üçüncü adım: Kareleri hesaplama.
\( \cos(\theta) = \frac{36 + 64 - 121}{96} \)
- ➡️ Dördüncü adım: Payı hesaplama.
\( \cos(\theta) = \frac{100 - 121}{96} = \frac{-21}{96} = -\frac{7}{32} \)
- ➡️ Beşinci adım: Açıyı bulmak için ters kosinüs fonksiyonunu kullanma.
\( \theta = \cos^{-1}(-\frac{7}{32}) \approx 102.6^\circ \)
✅ Sonuç: \( \cos(\theta) = -\frac{7}{32} \) ve \( \theta \approx 102.6^\circ \)'dir.
