Soru:
Bir mühendis, iki nokta arasındaki doğrudan mesafeyi ölçememektedir. Bunun yerine, bu iki noktaya eşit uzaklıkta olan bir üçüncü nokta belirler. Üç nokta arasında oluşan üçgenin iki kenarı 200 m ve 150 m, aralarındaki açı ise \( 110^\circ \) olarak ölçülmüştür. Doğrudan ölçülemeyen mesafeyi (üçüncü kenarı) hesaplayınız.
Çözüm:
💡 Bu, kosinüs teoreminin gerçek hayattaki bir uygulamasıdır. Verilenler: \( a = 200 \) m, \( b = 150 \) m, bu kenarlar arasındaki açı \( \gamma = 110^\circ \). İstenen, \( c \) kenarının uzunluğudur.
- ➡️ İlk adım, kosinüs teoreminin standart formülünü yazmaktır:
\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \)
- ➡️ İkinci adım, değerleri formülde yerine koymaktır. \( \cos(110^\circ) \) değerinin negatif olduğunu unutmayalım (\( \cos(110^\circ) \approx -0.3420 \)):
\( c^2 = 200^2 + 150^2 - 2 \cdot 200 \cdot 150 \cdot (-0.3420) \)
- ➡️ Üçüncü adım, işlemleri parça parça yapmaktır:
\( 200^2 = 40000 \), \( 150^2 = 22500 \). Toplamları \( 62500 \).
\( 2 \cdot 200 \cdot 150 \cdot 0.3420 = 60000 \cdot 0.3420 = 20520 \). Formülde eksi işareti ve açının negatif kosinüsü olduğu için bu kısım \( - ( -20520) = +20520 \) olur.
- ➡️ Dördüncü adım, \( c^2 \)'yi hesaplamaktır:
\( c^2 = 62500 + 20520 = 83020 \)
- ➡️ Beşinci adım, karekök alarak \( c \)'yi bulmaktır:
\( c = \sqrt{83020} \approx 288.13 \) m.
✅ Sonuç: Ölçülemeyen mesafe yaklaşık 288.13 metre'dir.
