10. Sınıf Kosinüs Teoremi ve İspatı

Bir \( ABC \) üçgeninde \( |AB| = 9 \) cm, \( |BC| = 15 \) cm ve \( m(\widehat{B}) = 120^\circ \) olduğuna göre, \( |AC| \) kenarının uzunluğunu bulunuz.

Kosinüs teoremini, bilinen iki kenar ve aralarındaki açıyı kullanarak bilinmeyen kenarı bulmak için uygulayacağız. 💡 Burada \( B \) açısı biliniyor ve karşısındaki kenar \( b = |AC| \)'dir. Kenarlar: \( a = |BC| = 15 \), \( c = |AB| = 9 \), \( \angle B = 120^\circ \).

• ➡️ Kosinüs teoremi formülü: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B) \)
• ➡️ Verilenleri yerine koyalım: \( b^2 = 15^2 + 9^2 - 2 \cdot 15 \cdot 9 \cdot \cos(120^\circ) \)
• ➡️ \( \cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} \) olduğunu hatırlayalım.
• ➡️ Hesaplayalım: \( b^2 = 225 + 81 - 270 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \)
• ➡️ Devam edelim: \( b^2 = 306 + 135 = 441 \)
• ➡️ Sonuç: \( b = \sqrt{441} = 21 \) cm

✅ \( |AC| = 21 \) cm olarak bulunur.