Soru:
İki kenarı \( 5 \) cm ve \( 7 \) cm olan bir üçgenin, bu kenarlar arasındaki açısı \( 120^\circ \)'dir. Üçgenin çevresini ve alanını bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu soruda hem Kosinüs Teoremi (üçüncü kenarı bulmak için) hem de alan formülü kullanacağız.
- Üçüncü Kenarı Bulma:
- ➡️ Kosinüs teoremi: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \). \( a=5, b=7, \gamma=120^\circ \).
- ➡️ \( \cos(120^\circ) = -0.5 \) olduğunu biliyoruz.
- ➡️ Hesaplama: \( c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot (-0.5) = 25 + 49 - (-35) = 25 + 49 + 35 = 109 \).
- ➡️ Sonuç: \( c = \sqrt{109} \) cm.
- ➡️ Çevre: \( 5 + 7 + \sqrt{109} = 12 + \sqrt{109} \) cm.
- Alanı Bulma:
- ➡️ İki kenar ve arasındaki açı bilindiğinde alan formülü: \( Alan = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) \).
- ➡️ \( \sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
- ➡️ Hesaplama: \( Alan = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{35\sqrt{3}}{4} \) cm².
✅ Sonuç: Çevre = \( 12 + \sqrt{109} \) cm ve Alan = \( \frac{35\sqrt{3}}{4} \) cm²'dir.
