10. Sınıf Kosinüs Teoremi ve İspatı

Bir üçgenin kenar uzunlukları \( 6 \) cm, \( 8 \) cm ve \( 11 \) cm olarak verilmiştir. \( 11 \) cm'lik kenarı gören açının (\( \theta \)) kosinüs değerini (\( \cos(\theta) \)) bulunuz.

💡 Bu soruda, kenar uzunlukları verilip bir açının kosinüs değeri isteniyor. Kosinüs teoremini uygun şekilde düzenleyeceğiz. \( a = 6 \), \( b = 8 \), \( c = 11 \) diyelim. \( \theta \) açısı \( c \) kenarının karşısında olduğu için teorem: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta) \) şeklindedir.

• ➡️ İlk adım, formülü \( \cos(\theta) \)'yı yalnız bırakacak şekilde yeniden düzenlemektir: \( \cos(\theta) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \)
• ➡️ İkinci adım, değerleri yerine koymaktır: \( \cos(\theta) = \frac{6^2 + 8^2 - 11^2}{2 \cdot 6 \cdot 8} = \frac{36 + 64 - 121}{96} \)
• ➡️ Üçüncü adım, payı hesaplamaktır: \( 36 + 64 = 100 \), \( 100 - 121 = -21 \)
• ➡️ Dördüncü adım, kesri sadeleştirmektir: \( \cos(\theta) = \frac{-21}{96} = -\frac{7}{32} \)

✅ Sonuç: \( \cos(\theta) = -\frac{7}{32} \). Bu negatif değer, açının \( 90^\circ \)'den büyük (geniş açı) olduğunu gösterir.