10. Sınıf Kosinüs Teoremi ve İspatı

Bir \( ABC \) üçgeninde \( |AB| = 10 \) cm, \( |BC| = 14 \) cm ve \( |AC| = 12 \) cm'dir. Bu üçgenin en büyük açısının ölçüsünü bulunuz. (İpucu: En uzun kenarı bulun, karşısındaki açı en büyük açıdır.)

Bir üçgende en uzun kenarın karşısındaki açı en büyük açıdır. 💡 Kenar uzunlukları: \( a = |BC| = 14 \), \( b = |AC| = 12 \), \( c = |AB| = 10 \). En uzun kenar \( a = 14 \) cm olduğundan, en büyük açı \( \angle A \)'dır.

• ➡️ Kosinüs teoremini \( \angle A \) için yazalım: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A) \)
• ➡️ Verilenleri yerine koyalım: \( 14^2 = 12^2 + 10^2 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \cos(A) \)
• ➡️ Hesaplayalım: \( 196 = 144 + 100 - 240 \cdot \cos(A) \)
• ➡️ Düzenleyelim: \( 196 = 244 - 240\cos(A) \)
• ➡️ \( 240\cos(A) = 244 - 196 = 48 \)
• ➡️ \( \cos(A) = \frac{48}{240} = \frac{1}{5} = 0.2 \)
• ➡️ Açıyı bulalım: \( A = \arccos(0.2) \approx 78.46^\circ \)

✅ Üçgenin en büyük açısı \( \angle A \approx 78.46^\circ \) olarak bulunur.