10. Sınıf Kosinüs Teoremi ve İspatı

Bir \( ABC \) üçgeninde kenar uzunlukları \( a=7 \) cm, \( b=5 \) cm ve \( c=8 \) cm olarak veriliyor. \( B \) açısının ölçüsünü (cosinüs değeri ve açı olarak) bulunuz.

Kosinüs teoremi, bir açının kosinüsünü kenar uzunlukları cinsinden bulmamızı sağlar. 💡 Burada \( B \) açısını karşısındaki kenar \( b=5 \)'tir. Formül: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B) \).

• ➡️ Formülü yazalım: \( 5^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(B) \)
• ➡️ Hesaplayalım: \( 25 = 49 + 64 - 112 \cdot \cos(B) \)
• ➡️ Düzenleyelim: \( 25 = 113 - 112\cos(B) \)
• ➡️ \( 112\cos(B) = 113 - 25 = 88 \)
• ➡️ \( \cos(B) = \frac{88}{112} = \frac{11}{14} \)
• ➡️ Açıyı bulmak için: \( B = \arccos\left(\frac{11}{14}\right) \approx 38.21^\circ \)

✅ \( \cos(B) = \frac{11}{14} \) ve \( B \approx 38.21^\circ \) olarak bulunur.