Bu tür sorular, olasılık ve kombinasyon konularının temelini oluşturan sıralama (permütasyon) problemleridir. Birinci, ikinci ve üçüncü gibi sıralamaların önemli olduğu durumlarda permütasyon kullanırız. Gelin, bu soruyu adım adım çözelim:
- Birinciyi Belirleme: Yarışmada 10 kişi var. Birinci olabilecek kişi için 10 farklı aday bulunmaktadır. Yani, birinci sıraya 10 kişiden herhangi biri gelebilir.
- İkinciyi Belirleme: Birinci belirlendikten sonra geriye 9 kişi kalır. Bu 9 kişiden herhangi biri ikinci olabilir. Dolayısıyla, ikinci sıraya gelebilecek kişi için 9 farklı aday vardır.
- Üçüncüyü Belirleme: Birinci ve ikinci belirlendikten sonra geriye 8 kişi kalır. Bu 8 kişiden herhangi biri üçüncü olabilir. Yani, üçüncü sıraya gelebilecek kişi için 8 farklı aday vardır.
- Toplam Farklı Sıralama Sayısı: Birinci, ikinci ve üçüncü sıradaki kişileri belirleme adımlarındaki seçimleri çarparak toplam farklı sıralama sayısını buluruz.
- Bu durumda, toplam sıralama sayısı: $10 \times 9 \times 8$
- Hesaplamayı yapalım: $10 \times 9 = 90$
- Şimdi de $90 \times 8 = 720$
- Yani, 10 kişi arasından birinci, ikinci ve üçüncü 720 farklı şekilde belirlenebilir.
Bu problem aynı zamanda bir permütasyon problemidir ve matematiksel olarak $P(n, k)$ veya $P_k^n$ formülü ile gösterilir. Burada $n$ toplam kişi sayısı (10) ve $k$ seçilecek sıra sayısıdır (3). Formülü $P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$ şeklinde ifade edebiliriz.
- Bizim durumumuzda $P(10, 3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!}$
- Bu da $\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!}$ anlamına gelir.
- Pay ve paydadaki $7!$ (7 faktöriyel) birbirini götürdüğünde geriye $10 \times 9 \times 8$ kalır.
- $10 \times 9 \times 8 = 720$
Gördüğünüz gibi, her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık!
Cevap C seçeneğidir.
