Bir sayının karesinin 3 eksiği ile 3 eksiğinin karesi arasındaki farkı modelleyen bir öğrenci, $(x^2 - 3) - (x - 3)^2$ yerine $x^2 - 3 - x^2 - 9$ yazmıştır. Bu hatanın kaynağı aşağıdakilerden hangisidir?
A) Tam kare açılımında birinci ile ikincinin çarpımının iki katını unutmak ve işaret hatası
B) İki kare farkı özdeşliğini yanlış kullanmak
C) Sabit terimin karesini alırken hata yapmak
D) Değişkenin karesini yanlış hesaplamak
E) Parantez kullanmadan çıkarma işlemi yapmak
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir öğrencinin cebirsel ifadelerle işlem yaparken yaptığı yaygın bir hatayı inceliyoruz. Adım adım bu hatanın kaynağını bulalım.
- Soruyu Anlayalım:
- Öğrenci, "bir sayının karesinin 3 eksiği" ($x^2 - 3$) ile "3 eksiğinin karesi" ($(x - 3)^2$) arasındaki farkı modellemek istiyor.
- Doğru ifade: $(x^2 - 3) - (x - 3)^2$ olmalıdır.
- Ancak öğrenci, bu ifadeyi $x^2 - 3 - x^2 - 9$ şeklinde yazmıştır.
- Doğru Çözümü Yapalım:
- İlk olarak, $(x - 3)^2$ ifadesinin tam kare açılımını hatırlayalım. Tam kare açılımı şöyledir: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
- Bu kuralı $(x - 3)^2$ için uygulayalım:
$$(x - 3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$$
- Şimdi, orijinal ifadeyi doğru bir şekilde açalım:
$$(x^2 - 3) - (x - 3)^2 = (x^2 - 3) - (x^2 - 6x + 9)$$
- Parantez önündeki eksi işaretini dağıtalım:
$$x^2 - 3 - x^2 + 6x - 9$$
- Benzer terimleri birleştirelim:
$$(x^2 - x^2) + 6x + (-3 - 9) = 0 + 6x - 12 = 6x - 12$$
- Yani, doğru sonuç $6x - 12$ olmalıdır.
- Öğrencinin Yaptığı Hatayı İnceleyelim:
- Öğrenci, $(x^2 - 3) - (x - 3)^2$ ifadesini $x^2 - 3 - x^2 - 9$ şeklinde yazmıştır.
- Bu, öğrencinin $-(x - 3)^2$ ifadesini $-x^2 - 9$ olarak düşündüğü anlamına gelir.
- Yani, öğrenci $(x - 3)^2$ ifadesini $x^2 + 9$ olarak kabul etmiş ve sonra eksi işaretini dağıtmıştır: $-(x^2 + 9) = -x^2 - 9$.
- Bu durumda, öğrenci $(x - 3)^2$ açılımında iki temel hata yapmıştır:
- Birincisi, birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı olan $-2 \cdot x \cdot 3 = -6x$ terimini tamamen unutmuştur.
- İkincisi, $(a-b)^2$ formülünü $(a^2 + b^2)$ şeklinde yanlış uygulamıştır. Bu, tam kare açılımının yapısındaki işaretleri ve terimleri yanlış anlamaktan kaynaklanan bir "işaret hatası"dır. Özellikle $-2ab$ teriminin işaretini ve varlığını göz ardı etmiştir.
- Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) Tam kare açılımında birinci ile ikincinin çarpımının iki katını unutmak ve işaret hatası: Öğrenci, $-6x$ terimini unutmuştur (birinci ile ikincinin çarpımının iki katı). Ayrıca, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ formülündeki işaretleri ve terimleri yanlış anlaması ($-2ab$ terimini unutması) bir işaret hatası olarak da yorumlanabilir. Bu seçenek, öğrencinin yaptığı hatayı en iyi şekilde açıklamaktadır.
- B) İki kare farkı özdeşliğini yanlış kullanmak: $(x - 3)^2$ bir tam kare ifadesidir, iki kare farkı ($a^2 - b^2$) değildir. Bu nedenle bu seçenek yanlıştır.
- C) Sabit terimin karesini alırken hata yapmak: Sabit terim $3$'tür. Karesi $3^2 = 9$'dur. Öğrencinin sonucunda $-9$ yer alması, $-(+9)$ işleminden gelmektedir, yani $3^2$ doğru hesaplanmıştır, ancak tam kare açılımı yanlış yapılmıştır. Bu seçenek hatanın ana kaynağı değildir.
- D) Değişkenin karesini yanlış hesaplamak: Değişken $x$'tir. Karesi $x^2$'dir. Öğrencinin ifadesinde $x^2$ ve $-x^2$ terimleri doğru şekilde yer almıştır. Bu seçenek yanlıştır.
- E) Parantez kullanmadan çıkarma işlemi yapmak: Öğrenci başlangıçta parantezleri doğru kullanmıştır: $(x^2 - 3) - (x - 3)^2$. Hata, parantez içindeki tam kare açılımını yaparken ve eksi işaretini dağıtırken meydana gelmiştir. Bu seçenek yanlıştır.
Öğrencinin yaptığı hata, tam kare açılımının temel kuralını yanlış uygulamasıdır. Özellikle, $(a-b)^2$ ifadesindeki $-2ab$ terimini unutmuş ve bu da genel bir işaret hatasına yol açmıştır.
Cevap A seçeneğidir.
