Bir ABC üçgeninde $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$ ve $a=10$ birim olduğuna göre, $b$ kenarının uzunluğu kaç birimdir?
A) $5\sqrt{2}$
B) $10$
C) $10\sqrt{2}$
D) $10\sqrt{3}$
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir üçgenin iki açısı ve bir kenar uzunluğu verilmiş. Bizden diğer bir kenar uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bu tür durumlarda Sinüs Teoremi'ni kullanmak en uygun yöntemdir.
- 1. Adım: Sinüs Teoremi'ni Hatırlayalım
- Sinüs Teoremi, bir üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasında bir ilişki kurar. Teorem şu şekildedir:
- $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
- 2. Adım: Verilen Bilgileri Yerine Yazalım
- Soruda bize verilenler:
- $\angle A = 30^\circ$
- $\angle B = 45^\circ$
- $a = 10$ birim
- Bizden $b$ kenarının uzunluğu isteniyor. Bu durumda Sinüs Teoremi'nin ilk iki kısmını kullanabiliriz:
- $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
- Şimdi bilinen değerleri bu denkleme yerleştirelim:
- $\frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$
- 3. Adım: Trigonometrik Değerleri Bulalım
- $\sin 30^\circ$ ve $\sin 45^\circ$ değerlerini bilmemiz gerekiyor:
- $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
- $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- Bu değerleri denklemimize yerleştirelim:
- $\frac{10}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
- 4. Adım: Denklemi Çözerek $b$ Kenarını Bulalım
- Denklemi basitleştirelim:
- $10 \cdot 2 = b \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$
- $20 = b \cdot \sqrt{2}$ (Çünkü $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$)
- Şimdi $b$'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı $\sqrt{2}$'ye bölelim:
- $b = \frac{20}{\sqrt{2}}$
- Paydayı rasyonel yapmak için kesri $\sqrt{2}$ ile çarpalım:
- $b = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
- $b = \frac{20\sqrt{2}}{2}$
- $b = 10\sqrt{2}$ birim
Buna göre, $b$ kenarının uzunluğu $10\sqrt{2}$ birimdir.
Cevap C seçeneğidir.
