Sinüs ve kosinüs teoremi Test 1

Bir PQR üçgeninde $p=7$ birim, $q=8$ birim ve $r=5$ birim olduğuna göre, $\cos(\angle Q)$ değeri kaçtır?

A) $\frac{1}{7}$
B) $\frac{2}{7}$
C) $\frac{3}{7}$
D) $\frac{4}{7}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve bizden belirli bir açının kosinüs değerini bulmamız isteniyor. Bu tür problemler için en uygun araç Kosinüs Teoremi'dir.

• 1. Kosinüs Teoremi'ni Hatırlayalım:

  Bir PQR üçgeninde, kenar uzunlukları $p$, $q$, $r$ ve bu kenarların karşısındaki açılar sırasıyla $\angle P$, $\angle Q$, $\angle R$ olmak üzere, $\angle Q$ açısı için Kosinüs Teoremi şu şekilde ifade edilir:

  $q^2 = p^2 + r^2 - 2pr \cos(\angle Q)$

• 2. Formülü $\cos(\angle Q)$ için Düzenleyelim:

  Amacımız $\cos(\angle Q)$ değerini bulmak olduğu için, yukarıdaki denklemi $\cos(\angle Q)$'yi yalnız bırakacak şekilde yeniden düzenleyelim:

  • Önce $2pr \cos(\angle Q)$ terimini denklemin bir tarafına alalım:
  • $2pr \cos(\angle Q) = p^2 + r^2 - q^2$
  • Şimdi her iki tarafı $2pr$ ile bölelim:
  • $\cos(\angle Q) = \frac{p^2 + r^2 - q^2}{2pr}$
• 3. Verilen Değerleri Yerine Koyalım:

  Soruda verilen kenar uzunlukları şunlardır:

  • $p = 7$ birim
  • $q = 8$ birim
  • $r = 5$ birim

  Bu değerleri düzenlediğimiz formülde yerine yazalım:

  $\cos(\angle Q) = \frac{7^2 + 5^2 - 8^2}{2 \cdot 7 \cdot 5}$

• 4. Hesaplamaları Yapalım:
  • Önce kareleri alalım:
  • $7^2 = 49$
  • $5^2 = 25$
  • $8^2 = 64$
  • Paydadaki çarpımı yapalım:
  • $2 \cdot 7 \cdot 5 = 70$
  • Şimdi bu değerleri formülde yerine yazalım:
  • $\cos(\angle Q) = \frac{49 + 25 - 64}{70}$
  • Paydaki toplama ve çıkarmayı yapalım:
  • $49 + 25 = 74$
  • $74 - 64 = 10$
  • Sonuç olarak:
  • $\cos(\angle Q) = \frac{10}{70}$
  • Kesri sadeleştirelim (hem payı hem paydayı 10'a bölelim):
  • $\cos(\angle Q) = \frac{1}{7}$
• 5. Sonucu Kontrol Edelim:

  Bulduğumuz $\frac{1}{7}$ değeri, seçeneklerde A şıkkında yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.