Bir ABC üçgeninde $a=12$ birim, $b=8$ birim ve $\angle A = 60^\circ$ olduğuna göre, $\sin B$ değeri kaçtır?
A) $\frac{1}{2}$
B) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C) $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Sevgili öğrenciler, bu tür bir üçgen sorusunu çözmek için genellikle Sinüs Teoremi'ni kullanırız. Sinüs Teoremi, bir üçgenin kenarları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasındaki ilişkiyi gösterir. Hadi adımlara geçelim!
-
Öncelikle, bize verilen bilgileri not edelim:
- $a = 12$ birim (A açısının karşısındaki kenar)
- $b = 8$ birim (B açısının karşısındaki kenar)
- $\angle A = 60^\circ$ (A açısının ölçüsü)
- Bizden istenen: $\sin B$ değeri
-
Şimdi Sinüs Teoremi'ni hatırlayalım. Sinüs Teoremi der ki:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
Bu soruda $a$, $\sin A$, $b$ ve $\sin B$ değerleri ile ilgilendiğimiz için teoremin ilk iki kısmını kullanacağız:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
-
Verilen değerleri bu formülde yerine yazalım:
$\frac{12}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin B}$
-
Şimdi $\sin 60^\circ$ değerini bilmemiz gerekiyor. Özel açılardan bildiğimiz üzere $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$'dir. Bu değeri denklemimize yerleştirelim:
$\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sin B}$
-
Denklemin sol tarafını düzenleyelim. Bir sayıyı kesre bölmek, o sayıyı kesrin tersiyle çarpmak demektir:
$12 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sin B}$
$\frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sin B}$
-
Şimdi $\sin B$ değerini bulmak için denklemi çözelim. İçler dışlar çarpımı yapabiliriz veya her iki tarafı $\sin B$ ile çarpıp sonra $\frac{24}{\sqrt{3}}$'e bölebiliriz:
$\sin B = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{24}$
-
Son olarak, ifadeyi sadeleştirelim. 8 ile 24'ü sadeleştirebiliriz ($24 \div 8 = 3$):
$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Böylece $\sin B$ değerini $\frac{\sqrt{3}}{3}$ olarak bulmuş olduk. Bu da seçenekler arasında C seçeneğine karşılık gelmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
