Bir aritmetik dizinin ilk üç teriminin geometrik ortalaması 8'dir. Bu terimlerin aritmetik ortalaması 7 olduğuna göre, bu üç terimin çarpımı kaçtır?
A) 216Bu problemde bir aritmetik dizinin terimleri ve bu terimlerin hem aritmetik hem de geometrik ortalamaları arasındaki ilişkiyi kullanacağız. Adım adım ilerleyerek çözüme ulaşalım:
Bir aritmetik dizinin ardışık üç terimini temsil etmenin en kolay yolu, ortadaki terime $a$ ve ortak farka $d$ diyerek terimleri $a-d$, $a$ ve $a+d$ şeklinde yazmaktır. Bu gösterim, terimlerin toplamını ve çarpımını basitleştirmemize yardımcı olur.
Soruda, bu üç terimin aritmetik ortalamasının 7 olduğu belirtilmiştir. Aritmetik ortalama, terimlerin toplamının terim sayısına bölünmesiyle bulunur:
$\frac{(a-d) + a + (a+d)}{3} = 7$
Şimdi denklemi basitleştirelim. Pay kısmındaki $-d$ ve $+d$ birbirini götürür:
$\frac{3a}{3} = 7$
Bu durumda, $a = 7$ sonucuna ulaşırız. Yani, aritmetik dizinin ortadaki terimi 7'dir.
Şimdi terimlerimiz $7-d$, $7$ ve $7+d$ şeklindedir.
Soruda ayrıca, bu üç terimin geometrik ortalamasının 8 olduğu belirtilmiştir. Üç sayının geometrik ortalaması, bu sayıların çarpımının küpköküdür:
$\sqrt[3]{(7-d) \cdot 7 \cdot (7+d)} = 8$
Küpkökten kurtulmak için denklemin her iki tarafının küpünü alalım:
$((7-d) \cdot 7 \cdot (7+d)) = 8^3$
$8^3$ değerini hesaplayalım: $8 \times 8 \times 8 = 64 \times 8 = 512$.
Böylece denklemi şu şekilde yazarız:
$(7-d) \cdot 7 \cdot (7+d) = 512$
Sorunun bizden istediği, bu üç terimin çarpımıdır. Dikkat ederseniz, Adım 3'te bulduğumuz denklem zaten bu üç terimin çarpımını ifade etmektedir:
Üç terimin çarpımı $= (7-d) \cdot 7 \cdot (7+d)$
Ve biz bu çarpımın $512$ olduğunu bulduk.
Bu durumda, üç terimin çarpımı $512$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
