Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları geometrik ortalaması 6 cm olan iki sayıdır. Dikdörtgenin alanı 48 cm² olduğuna göre, çevresi kaç cm'dir?
A) 20
B) 24
C) 28
D) 32
Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olsun.
1. Geometrik Ortalama Bilgisini Kullanma:
Soruda, dikdörtgenin kenar uzunluklarının geometrik ortalamasının $6 \text{ cm}$ olduğu belirtilmiştir. İki sayının geometrik ortalaması, bu sayıların çarpımının kareköküdür.
Yani, $\sqrt{a \cdot b} = 6$.
Bu denklemin her iki tarafının karesini alırsak: $a \cdot b = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$ elde ederiz.
2. Alan Bilgisini Kullanma:
Dikdörtgenin alanı $48 \text{ cm}^2$ olarak verilmiştir. Dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımıdır.
Yani, $a \cdot b = 48 \text{ cm}^2$.
3. Bilgilerin Tutarlılığını Değerlendirme:
Burada bir çelişki olduğunu fark edebiliriz: Geometrik ortalama bilgisinden $a \cdot b = 36 \text{ cm}^2$ çıkarken, alan bilgisi $a \cdot b = 48 \text{ cm}^2$ olduğunu söylemektedir. Matematik problemlerinde bu tür durumlarda, genellikle doğrudan verilen alan gibi temel bir özelliğin doğru olduğu kabul edilir ve problemdeki diğer bilginin bir yazım hatası veya yanıltıcı olduğu varsayılır. Bu nedenle, dikdörtgenin alanını $48 \text{ cm}^2$ olarak kabul ederek devam edeceğiz.
4. Kenar Uzunluklarını Bulma:
Dikdörtgenin alanı $a \cdot b = 48 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, çarpımları $48$ olan $a$ ve $b$ sayılarını arıyoruz. Aynı zamanda, çevreyi bulmak için $a+b$ toplamına ihtiyacımız var.
Sorunun seçeneklerini ve tipik dikdörtgen problemlerini göz önünde bulundurarak, çarpımları $48$ olan ve çevre için makul bir toplam veren sayı çiftlerini düşünebiliriz. Bu tür sayı çiftleri arasında $(1, 48), (2, 24), (3, 16), (4, 12), (6, 8)$ bulunur.
Eğer kenar uzunlukları $6 \text{ cm}$ ve $8 \text{ cm}$ olursa:
Alan: $6 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} = 48 \text{ cm}^2$. Bu, verilen alan bilgisiyle tutarlıdır.
5. Çevreyi Hesaplama:
Dikdörtgenin çevresi $P = 2(a+b)$ formülüyle bulunur.
Kenar uzunluklarını $a=6 \text{ cm}$ ve $b=8 \text{ cm}$ olarak alırsak:
