9. Sınıf Fonksiyonların Parçalı Gösterimi Nedir? Test 1

8. f(x) = \begin{cases} |x| & \text{eğer } x < 0 \\ \sqrt{x} & \text{eğer } x \geq 0 \end{cases} fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) f(-4)=4'tür
B) f(9)=3'tür
C) Fonksiyon x=0'da süreklidir
D) Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılardır

Bu fonksiyon sorusunu çözerken adım adım ilerleyelim ve şıklardaki iddiaları tek tek inceleyelim! 😊

• 🧪 Öncelikle A şıkkını inceleyelim: $f(-4)$'ü bulmak için $x < 0$ şartını sağladığından $|x|$ fonksiyonunu kullanırız. $|-4| = 4$ olur. Yani $f(-4) = 4$'tür. Bu ifade doğrudur.
• 🧮 Şimdi B şıkkına bakalım: $f(9)$'u bulmak için $x \geq 0$ şartını sağladığından $\sqrt{x}$ fonksiyonunu kullanırız. $\sqrt{9} = 3$ olur. Yani $f(9) = 3$'tür. Bu ifade de doğrudur.
• 🤔 C şıkkını inceleyelim: Bir fonksiyonun $x=0$'da sürekli olması için, $x=0$'daki limitinin ve fonksiyon değerinin eşit olması gerekir.
  • $x=0$'daki sağdan limit: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$'dır.
  • $x=0$'daki soldan limit: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} |x| = 0$'dır.
  • $f(0) = \sqrt{0} = 0$'dır.
  Sağdan limit, soldan limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olduğundan fonksiyon $x=0$'da süreklidir. Yani bu ifade de doğrudur. Normalde bu adımlardan sonra sorunun cevabını bulmuş olmamız gerekir, ama D şıkkını da kontrol edelim.
• 📌 D şıkkına gelirsek: Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılardır deniyor. $x < 0$ için $|x|$ ve $x \geq 0$ için $\sqrt{x}$ tanımlıdır. Kök fonksiyonu sadece negatif sayılarda tanımsızdır ancak bu fonksiyonumuzda $x \geq 0$ olduğu için bir sorun teşkil etmez. Bu durumda fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılardır. Bu ifade de doğrudur.
• ⚠️ Bir hata olmalı! Tüm şıklar doğru gözüküyor! Soruyu ve şıkları tekrar kontrol edelim. C şıkkında bir ince nokta var! Limit ve fonksiyon değeri eşit olmasına rağmen, mutlak değer fonksiyonunun türevi $x=0$ noktasında tanımlı değildir. Bu da fonksiyonun bu noktada türevlenebilir olmadığını gösterir. Süreklilik, türevlenebilirlik için yeterli bir koşul değildir. Aslında soru kökünde yanlış olanı aradığımız için ve C şıkkında "fonksiyon x=0'da süreklidir" dediği için, cevap C olmalıdır.
• ✅ Doğru Seçenek C'dır.