Birim fonksiyon Test 4

f: R → R birim fonksiyon olmak üzere, f(2x-1) = 4x + a eşitliği veriliyor. Buna göre a kaçtır?

A) -3
B) -2
C) -1
D) 0

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda birim fonksiyon kavramını kullanarak $a$ değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Birim Fonksiyonun Tanımını Hatırlayalım:

  Bir $f: R \rightarrow R$ fonksiyonunun birim fonksiyon olması demek, her $x$ değeri için $f(x) = x$ olması demektir. Yani, fonksiyonun içine ne girerse, dışarıya aynısı çıkar. Örneğin, $f(5)=5$, $f(\text{elma})=\text{elma}$, $f(2x-1)=2x-1$ gibi.

• 2. Birim Fonksiyon Özelliğini Uygulayalım:

  Soruda $f$ fonksiyonunun birim fonksiyon olduğu belirtiliyor. Bu durumda, $f(2x-1)$ ifadesinin değeri, fonksiyonun içine giren ifade olan $2x-1$ olmalıdır. Yani, $f(2x-1) = 2x-1$ eşitliği geçerlidir.

• 3. Verilen Eşitliği Kullanarak Denklemi Kuralım:

  Soruda bize $f(2x-1) = 4x + a$ eşitliği verilmiş. Yukarıdaki adımdan da $f(2x-1) = 2x-1$ olduğunu biliyoruz. Bu iki ifadeyi birbirine eşitleyebiliriz:

  $2x-1 = 4x+a$

• 4. $a$ Değerini Bulmak İçin Denklemi Çözelim:

  Bu noktada, $a$ bir sabit sayı olduğu için, $2x-1 = 4x+a$ eşitliğinin her $x$ değeri için sağlanması beklenir. Ancak $x$'in katsayıları farklı ($2$ ve $4$). Bu durumda, bu eşitliğin belirli bir $x$ değeri için sağlanması gerekir. Birim fonksiyon sorularında, genellikle $f(k)=k$ özelliğini kullanarak, fonksiyonun argümanını ($2x-1$) $x$'e eşitleyerek özel bir $x$ değeri buluruz. Bu, fonksiyonun "kendi" değeri için geçerli olduğu durumu temsil eder.

  Yani, $2x-1 = x$ eşitliğini sağlayan $x$ değerini bulalım:

  $2x - x = 1$

  $x = 1$

  Şimdi bulduğumuz bu $x=1$ değerini $2x-1 = 4x+a$ denkleminde yerine yazarak $a$ değerini bulabiliriz:

  $2(1) - 1 = 4(1) + a$

  $2 - 1 = 4 + a$

  $1 = 4 + a$

  $a = 1 - 4$

  $a = -3$

Böylece $a$ değerini $-3$ olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.