Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisini bulmak için türev alma ve türev testlerini kullanırız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma
-
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (minimum veya maksimum) noktalarını bulmak için ilk yapmamız gereken, o fonksiyonun birinci türevini almaktır. Türev, fonksiyonun eğimini temsil eder. Yerel minimum veya maksimum noktalarda eğim sıfır olur.
Verilen fonksiyonumuz: $f(x) = x^3 - 12x + 5$
Bu fonksiyonun birinci türevini alalım:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 12x + 5)$
$f'(x) = 3x^2 - 12$
- Adım 2: Kritik Noktaları Bulma
-
Yerel ekstremum noktalarının olabileceği yerlere "kritik noktalar" denir. Bu noktalar, birinci türevin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalardır. Polinom fonksiyonlarında türev her zaman tanımlı olduğu için, sadece türevi sıfıra eşitlememiz yeterlidir.
$f'(x) = 0$
$3x^2 - 12 = 0$
$3x^2 = 12$
$x^2 = 4$
Bu denklemi çözdüğümüzde iki kritik nokta buluruz:
$x = 2$ veya $x = -2$
- Adım 3: Yerel Minimum Noktasını Belirleme (İkinci Türev Testi)
-
Kritik noktaların yerel minimum mu yoksa yerel maksimum mu olduğunu belirlemek için çeşitli yöntemler kullanabiliriz. En yaygın yöntemlerden biri İkinci Türev Testi'dir.
Önce fonksiyonun ikinci türevini bulalım:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12)$
$f''(x) = 6x$
Şimdi bulduğumuz kritik noktaları ikinci türevde yerine koyalım:
- $x = 2$ için: $f''(2) = 6(2) = 12$
- $x = -2$ için: $f''(-2) = 6(-2) = -12$
İkinci Türev Testi'ne göre:
- Eğer $f''(c) > 0$ ise, $x=c$ noktasında bir yerel minimum vardır.
- Eğer $f''(c) < 0$ ise, $x=c$ noktasında bir yerel maksimum vardır.
Bizim durumumuzda:
- $f''(2) = 12 > 0$ olduğu için, $x = 2$ noktasında bir yerel minimum vardır.
- $f''(-2) = -12 < 0$ olduğu için, $x = -2$ noktasında bir yerel maksimum vardır.
Soruda bizden yerel minimum noktasının apsisi istendiği için, cevabımız $x=2$ olacaktır.
Cevap C seçeneğidir.
