Gerçek sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
A) f tek, g çift ise f⋅g tek fonksiyondur
B) f tek, g çift ise f+g tek fonksiyondur
C) f ve g tek ise f-g çift fonksiyondur
D) f ve g çift ise f/g tek fonksiyondur
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, tek ve çift fonksiyonların özelliklerini kullanarak verilen ifadelerden hangisinin her zaman doğru olduğunu bulmamız isteniyor. Öncelikle tek ve çift fonksiyonların tanımlarını hatırlayalım:
- Bir $f$ fonksiyonu, tanım kümesindeki her $x$ için $f(-x) = -f(x)$ eşitliğini sağlıyorsa tek fonksiyondur.
- Bir $f$ fonksiyonu, tanım kümesindeki her $x$ için $f(-x) = f(x)$ eşitliğini sağlıyorsa çift fonksiyondur.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $f$ tek, $g$ çift ise $f \cdot g$ tek fonksiyondur
- Yeni fonksiyonumuz $h(x) = (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ olsun.
- $h(-x)$ ifadesini bulalım: $h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$.
- $f$ tek fonksiyon olduğu için $f(-x) = -f(x)$ yazabiliriz.
- $g$ çift fonksiyon olduğu için $g(-x) = g(x)$ yazabiliriz.
- Bu değerleri yerine koyarsak: $h(-x) = (-f(x)) \cdot g(x) = -(f(x) \cdot g(x))$.
- Tanım gereği $f(x) \cdot g(x) = h(x)$ olduğundan, $h(-x) = -h(x)$ elde ederiz.
- Bu da $h(x)$ fonksiyonunun tek fonksiyon olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla bu ifade her zaman doğrudur.
- B) $f$ tek, $g$ çift ise $f+g$ tek fonksiyondur
- Yeni fonksiyonumuz $k(x) = (f+g)(x) = f(x) + g(x)$ olsun.
- $k(-x)$ ifadesini bulalım: $k(-x) = f(-x) + g(-x)$.
- $f$ tek olduğu için $f(-x) = -f(x)$.
- $g$ çift olduğu için $g(-x) = g(x)$.
- Bu değerleri yerine koyarsak: $k(-x) = -f(x) + g(x)$.
- Bir fonksiyonun tek olması için $k(-x) = -k(x)$ yani $k(-x) = -(f(x) + g(x)) = -f(x) - g(x)$ olması gerekir.
- Ancak biz $k(-x) = -f(x) + g(x)$ bulduk. Bu iki ifade her zaman eşit değildir (örneğin, $g(x) \neq 0$ ise).
- Örnek: $f(x) = x$ (tek), $g(x) = x^2$ (çift). $f(x)+g(x) = x+x^2$. $(f+g)(-x) = -x+(-x)^2 = -x+x^2$. $-(f+g)(x) = -(x+x^2) = -x-x^2$. $-x+x^2 \neq -x-x^2$. Bu yüzden $f+g$ her zaman tek değildir.
- C) $f$ ve $g$ tek ise $f-g$ çift fonksiyondur
- Yeni fonksiyonumuz $m(x) = (f-g)(x) = f(x) - g(x)$ olsun.
- $m(-x)$ ifadesini bulalım: $m(-x) = f(-x) - g(-x)$.
- $f$ tek olduğu için $f(-x) = -f(x)$.
- $g$ tek olduğu için $g(-x) = -g(x)$.
- Bu değerleri yerine koyarsak: $m(-x) = -f(x) - (-g(x)) = -f(x) + g(x)$.
- Bir fonksiyonun çift olması için $m(-x) = m(x)$ yani $m(-x) = f(x) - g(x)$ olması gerekir.
- Ancak biz $m(-x) = -f(x) + g(x)$ bulduk. Bu iki ifade her zaman eşit değildir (örneğin, $f(x) \neq 0$ veya $g(x) \neq 0$ ise).
- Aslında, $m(-x) = -f(x) + g(x) = -(f(x) - g(x)) = -m(x)$ olduğundan, $f-g$ fonksiyonu tek fonksiyondur.
- D) $f$ ve $g$ çift ise $f/g$ tek fonksiyondur
- Yeni fonksiyonumuz $p(x) = (f/g)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ olsun (tanımlı olduğu yerlerde $g(x) \neq 0$ varsayımıyla).
- $p(-x)$ ifadesini bulalım: $p(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)}$.
- $f$ çift olduğu için $f(-x) = f(x)$.
- $g$ çift olduğu için $g(-x) = g(x)$.
- Bu değerleri yerine koyarsak: $p(-x) = \frac{f(x)}{g(x)}$.
- Tanım gereği $\frac{f(x)}{g(x)} = p(x)$ olduğundan, $p(-x) = p(x)$ elde ederiz.
- Bu da $p(x)$ fonksiyonunun çift fonksiyon olduğu anlamına gelir, tek fonksiyon değil.
Yukarıdaki analizler sonucunda, sadece A seçeneğindeki ifadenin her zaman doğru olduğunu görmüş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
