Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = √(4-x²) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A) Sağa doğru açılan bir parabolMerhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, verilen bir fonksiyonun grafiğini tanımamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu fonksiyonun hangi geometrik şekli temsil ettiğini bulalım.
Bize verilen fonksiyon $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ şeklindedir. Grafiği çizebilmek için $y = f(x)$ olduğunu düşünerek $y = \sqrt{4-x^2}$ yazalım.
Gerçek sayılarda bir karekök fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için kökün içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Yani, $4-x^2 \ge 0$ olmalıdır.
Bu eşitsizliği çözersek:
Şimdi $y = \sqrt{4-x^2}$ denklemini daha tanıdık bir forma getirmeye çalışalım. Her iki tarafın karesini alalım:
$x^2$ terimini denklemin sol tarafına atarsak:
$x^2 + y^2 = r^2$ denklemi, merkezi orijin $(0,0)$ olan ve yarıçapı $r$ olan bir çemberin standart denklemidir. Bizim denklemimizde $r^2 = 4$ olduğu için, yarıçap $r = \sqrt{4} = 2$ birimdir.
Başlangıçta $y = \sqrt{4-x^2}$ olarak tanımlamıştık. Karekökün sonucu her zaman negatif olmayan bir değerdir. Yani, $y \ge 0$ olmak zorundadır.
$x^2 + y^2 = 4$ denklemi merkezi $(0,0)$ ve yarıçapı $2$ olan bir çemberi temsil eder. Ancak $y \ge 0$ kısıtlaması nedeniyle, bu çemberin sadece $y$ değerlerinin pozitif veya sıfır olduğu kısmını almalıyız. Bu da çemberin üst yarısı anlamına gelir.
Bu analiz sonucunda, $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ fonksiyonunun grafiğinin merkezi orijinde ve yarıçapı $2$ olan bir çemberin üst yarısı olduğunu görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
