10. Sınıf Karekök Fonksiyonu Grafiği ve Özellikleri Test 1

f(x) = -√(x+1) + 4 fonksiyonu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A) Grafik, birinci bölgede yer alır
B) Fonksiyon her zaman artandır
C) Grafik, x = -1 noktasında y eksenine teğettir
D) Fonksiyonun maksimum değeri 4'tür

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, $f(x) = -\sqrt{x+1} + 4$ fonksiyonu ile ilgili doğru ifadeyi bulmak için adım adım bir analiz yapacağız. Bu tür fonksiyonları anlamak, grafikleri ve davranışları hakkında bize çok şey söyler. Hazırsanız başlayalım!

• 1. Fonksiyonun Tanım Kümesini Belirleyelim:

  Kareköklü ifadelerin içi negatif olamaz. Bu nedenle, $\sqrt{x+1}$ ifadesi için $x+1 \ge 0$ olmalıdır. Buradan $x \ge -1$ sonucuna ulaşırız. Yani, fonksiyonun tanım kümesi $[-1, \infty)$ aralığıdır. Bu, fonksiyonun grafiğinin $x = -1$ noktasından başladığı anlamına gelir.

• 2. Fonksiyonun Davranışını İnceleyelim (Artan mı Azalan mı?):
  • $x$ değeri arttıkça, $x+1$ değeri de artar.
  • $x+1$ değeri arttıkça, $\sqrt{x+1}$ değeri de artar (çünkü karekök fonksiyonu artandır).
  • Ancak, fonksiyonumuzda $-\sqrt{x+1}$ ifadesi var. Pozitif bir sayının önüne eksi işareti geldiğinde, o sayının değeri büyüdükçe ifadenin değeri küçülür. Yani, $\sqrt{x+1}$ arttıkça, $-\sqrt{x+1}$ azalır.
  • Son olarak, $-\sqrt{x+1}$ ifadesine 4 eklemek, fonksiyonun artan veya azalan olma durumunu değiştirmez. Dolayısıyla, $f(x) = -\sqrt{x+1} + 4$ fonksiyonu, tanım kümesi boyunca azalandır.
• 3. Seçenekleri Tek Tek İnceleyelim:
  • A) Grafik, birinci bölgede yer alır

    Birinci bölge, $x > 0$ ve $y > 0$ olduğu alandır. Fonksiyonun tanım kümesi $x \ge -1$ olduğu için, grafik $x=-1$ noktasından başlar. $f(-1) = -\sqrt{-1+1} + 4 = -\sqrt{0} + 4 = 4$. Yani, $(-1, 4)$ noktası grafiğin üzerindedir. Bu nokta birinci bölgede değildir (y ekseninin solunda, ikinci bölgeye yakın bir konumdadır). Ayrıca, fonksiyon azalan olduğu için, bir noktadan sonra $y$ değerleri sıfırın altına düşebilir. Örneğin, $f(15) = -\sqrt{15+1} + 4 = -\sqrt{16} + 4 = -4 + 4 = 0$. Yani $(15, 0)$ noktası da grafiğin üzerindedir. $x > 15$ için $f(x)$ negatif olacaktır. Bu durumda grafik sadece birinci bölgede yer almaz. Bu ifade yanlıştır.

  • B) Fonksiyon her zaman artandır

    Yukarıdaki 2. adımda yaptığımız analizde, fonksiyonun tanım kümesi boyunca azalan olduğunu belirlemiştik. Bu nedenle, bu ifade yanlıştır.

  • C) Grafik, $x = -1$ noktasında y eksenine teğettir

    Y ekseni, $x=0$ doğrusudur. Grafik $x=-1$ noktasında y eksenine teğet olamaz, çünkü $x=-1$ noktası y ekseni üzerinde değildir. Grafik $x=-1$ noktasında bir başlangıç noktasına sahiptir ve bu noktada dikey bir teğeti vardır, ancak bu y eksenine teğet olduğu anlamına gelmez. Bu ifade yanlıştır.

  • D) Fonksiyonun maksimum değeri 4'tür

    Tanım kümemiz $x \ge -1$ idi. Bu aralıkta $\sqrt{x+1}$ ifadesinin alabileceği en küçük değer 0'dır (bu değer $x=-1$ iken alınır).

    • $\sqrt{x+1} \ge 0$
    • Her iki tarafı eksi ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir: $-\sqrt{x+1} \le 0$
    • Her iki tarafa 4 eklersek: $-\sqrt{x+1} + 4 \le 0 + 4$
    • Yani, $f(x) \le 4$.

    Bu, fonksiyonun alabileceği en büyük değerin 4 olduğunu gösterir. Bu maksimum değere $x=-1$ iken ulaşılır: $f(-1) = -\sqrt{-1+1} + 4 = 4$. Bu ifade doğrudur.

Tüm seçenekleri değerlendirdiğimizde, doğru olan ifadenin D seçeneği olduğunu görüyoruz.

Cevap D seçeneğidir.