Ve bağlacı doğruluk tablosu Test 1

Doğruluk değerleri bilinmeyen p ve q önermeleri için p ∧ q bileşik önermesinin doğru olma olasılığı nedir?

A) 1/8
B) 1/4
C) 1/2
D) 3/4

Bu soruyu çözmek için öncelikle $p$ ve $q$ önermelerinin alabileceği tüm doğruluk değerlerini ve bu değerlere göre $p \land q$ bileşik önermesinin doğruluk değerini incelememiz gerekiyor.

• Adım 1: Önermelerin Doğruluk Değerlerini Anlamak

  Her bir önerme (matematiksel mantıkta) sadece iki doğruluk değerinden birini alabilir: Doğru (D veya 1) ya da Yanlış (Y veya 0).

• Adım 2: $p$ ve $q$ Önermeleri İçin Tüm Olası Durumları Belirlemek

  $p$ ve $q$ olmak üzere iki önermemiz olduğu için, bu iki önermenin doğruluk değerleri için $2^2 = 4$ farklı olası durum vardır. Bu durumları bir tablo ile gösterelim:

  $p$ | $q$
  D | D
  D | Y
  Y | D
  Y | Y

• Adım 3: $p \land q$ Bileşik Önermesinin Doğruluk Tablosunu Oluşturmak

  $p \land q$ (p ve q) bileşik önermesi, ancak ve ancak hem $p$ önermesi hem de $q$ önermesi doğru olduğunda doğru olur. Diğer tüm durumlarda yanlıştır. Şimdi bu durumu yukarıdaki tabloya ekleyelim:

  $p$ | $q$ | $p \land q$
  D | D | D
  D | Y | Y
  Y | D | Y
  Y | Y | Y

• Adım 4: $p \land q$ Önermesinin Doğru Olduğu Durumları Saymak

  Yukarıdaki doğruluk tablosuna baktığımızda, $p \land q$ bileşik önermesinin doğru (D) olduğu sadece 1 durum vardır. Bu durum, hem $p$'nin hem de $q$'nun doğru olduğu ilk satırdır.

• Adım 5: Olasılığı Hesaplamak

  Olasılık, istenen durum sayısının tüm olası durumların sayısına oranıdır.

  • İstenen durum sayısı ($p \land q$'nin doğru olduğu durumlar): 1
  • Tüm olası durumların sayısı ($p$ ve $q$'nun tüm doğruluk değeri kombinasyonları): 4

  Buna göre, $p \land q$ bileşik önermesinin doğru olma olasılığı şu şekilde hesaplanır:

  Olasılık = $\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durumların Sayısı}} = \frac{1}{4}$

Cevap B seçeneğidir.