9. Sınıf Kenar Kenar Kenar Benzerliği Nedir? Test 1

Kenar uzunlukları 9 cm, 12 cm ve 15 cm olan bir dik üçgen ile kenar uzunlukları 15 cm, 20 cm ve 25 cm olan başka bir üçgen veriliyor. Bu üçgenler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Sadece açıları eşittir
B) KKK benzerliği vardır
C) Sadece iki kenar oranı eşittir
D) Benzer değillerdir

Bu soruyu çözmek için, verilen iki üçgenin kenar uzunluklarını inceleyerek aralarındaki ilişkiyi belirleyeceğiz. Özellikle benzerlik kavramına odaklanacağız.

• Birinci Üçgeni İnceleyelim: Kenar uzunlukları 9 cm, 12 cm ve 15 cm. Bu bir dik üçgen mi diye kontrol edelim. Pisagor teoremini hatırlayalım: $a^2 + b^2 = c^2$.
  • $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
  • $15^2 = 225$
  Gördüğümüz gibi, $9^2 + 12^2 = 15^2$ eşitliği sağlanıyor. Bu, birinci üçgenin bir dik üçgen olduğunu gösterir. Aynı zamanda bu üçgen, kenarları 3-4-5 oranında olan özel bir dik üçgenin 3 katı ($3 \times 3$, $3 \times 4$, $3 \times 5$) olduğunu da gösterir.
• İkinci Üçgeni İnceleyelim: Kenar uzunlukları 15 cm, 20 cm ve 25 cm. Bu da bir dik üçgen mi diye kontrol edelim.
  • $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$
  • $25^2 = 625$
  Burada da $15^2 + 20^2 = 25^2$ eşitliği sağlanıyor. Bu da ikinci üçgenin bir dik üçgen olduğunu gösterir. Bu üçgen de kenarları 3-4-5 oranında olan özel bir dik üçgenin 5 katı ($5 \times 3$, $5 \times 4$, $5 \times 5$) olduğunu gösterir.
• Üçgenler Arasındaki Benzerliği Kontrol Edelim (KKK Benzerliği): İki üçgenin benzer olması için, karşılıklı kenar uzunluklarının oranlarının eşit olması gerekir. Bu duruma KKK (Kenar-Kenar-Kenar) benzerliği denir. Kenarları küçükten büyüğe doğru sıralayarak oranları kontrol edelim:
  • Birinci üçgenin kenarları: 9, 12, 15
  • İkinci üçgenin kenarları: 15, 20, 25
  Karşılıklı kenarların oranlarını bulalım:
  • En küçük kenarların oranı: $rac{9}{15}$
  • Ortanca kenarların oranı: $rac{12}{20}$
  • En büyük kenarların oranı: $rac{15}{25}$
  Şimdi bu oranları sadeleştirelim:
  • $rac{9}{15} = rac{3 \times 3}{3 \times 5} = rac{3}{5}$
  • $rac{12}{20} = rac{4 \times 3}{4 \times 5} = rac{3}{5}$
  • $rac{15}{25} = rac{5 \times 3}{5 \times 5} = rac{3}{5}$
  Gördüğümüz gibi, tüm karşılıklı kenar uzunluklarının oranları birbirine eşittir ve $rac{3}{5}$'tir. Bu durum, üçgenler arasında KKK benzerliği olduğunu kanıtlar.
• Seçenekleri Değerlendirelim:
  • A) Sadece açıları eşittir: Benzer üçgenlerin açıları eşittir, ancak "sadece" ifadesi yanıltıcıdır. Benzerlik aynı zamanda kenar oranlarının eşitliğini de içerir.
  • B) KKK benzerliği vardır: Yaptığımız hesaplamalar, tüm kenar oranlarının eşit olduğunu ve dolayısıyla KKK benzerliğinin var olduğunu açıkça göstermektedir.
  • C) Sadece iki kenar oranı eşittir: Bu yanlıştır, çünkü üç kenar oranının da eşit olduğunu bulduk.
  • D) Benzer değillerdir: Bu yanlıştır, çünkü kenar oranları eşit olduğu için üçgenler benzerdir.

Cevap B seçeneğidir.