Fonksiyonun çift fonksiyon olması ne anlama geliyor? Hatırlayalım!
- Çift Fonksiyon Tanımı: Bir $f(x)$ fonksiyonu çift fonksiyon ise, her $x$ değeri için $f(x) = f(-x)$ eşitliği sağlanır. Bu da demektir ki, fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetriktir.
- Çift Fonksiyon Özelliği: Çift fonksiyonlarda tek dereceli terimler (yani $x, x^3, x^5$ gibi terimler) bulunmaz. Sadece çift dereceli terimler ($x^0, x^2, x^4$ gibi) ve sabit terimler bulunur.
Şimdi sorumuza dönelim. $f(x) = (a-2)x^2 + (b+1)x + 3$ fonksiyonunun çift fonksiyon olması için, $x$'li terimin (yani tek dereceli terimin) olmaması gerekir. Bu da $x$'in katsayısının sıfır olması anlamına gelir.
- Adım 1: $x$'in katsayısını sıfıra eşitleyelim:
$b + 1 = 0$
- Adım 2: $b$'yi bulalım:
$b = -1$
- Adım 3: Fonksiyonun çift fonksiyon olması için $x^2$'li terimin olması gerekir. Bu yüzden $x^2$'nin katsayısı sıfırdan farklı olmalı. Ancak soruda $a$'nın değeri ile ilgili bir kısıtlama yok. Bizden $a+b$ toplamı istendiği için $a$'yı bulmamıza gerek yok. Sadece $a$'nın $a-2 \neq 0$ şartını sağlaması gerektiğini bilelim yeter.
- Adım 4: Şimdi $a + b$ toplamını bulalım. Soruda $a+b$ toplamı istendiği için $a$'yı bulmamıza gerek yok. Ancak $x^2$'li terimin katsayısı $(a-2)$ olduğu için $a-2 \neq 0$ olmalı yani $a \neq 2$ olmalıdır. Bu durumda $a$'nın herhangi bir değeri alabileceğini varsayarak, sorunun doğru cevabının bulunabilmesi için $a$'nın değerini bulmamız gerekiyor. Fonksiyonun çift fonksiyon olması için $f(x) = f(-x)$ olmalı. Yani:
$(a-2)x^2 + (b+1)x + 3 = (a-2)(-x)^2 + (b+1)(-x) + 3$
$(a-2)x^2 + (b+1)x + 3 = (a-2)x^2 - (b+1)x + 3$
Bu eşitliğin sağlanması için $(b+1)x = -(b+1)x$ olmalı. Bu da ancak $b+1 = 0$ olduğunda mümkündür. Buradan $b = -1$ bulunur.
Şimdi $a$'yı bulmak için ek bir bilgiye ihtiyacımız var. Soruda $f(x)$'in çift fonksiyon olduğu söylenmiş. Bu durumda $x$'li terimin katsayısı sıfır olmalı. Yani $b+1 = 0$ olmalı. Buradan $b = -1$ bulunur. $a$'nın değeri hakkında bir bilgimiz yok. Ancak seçeneklerde $a+b$ toplamı için sadece bir tane tam sayı değeri var. Bu da $a$'nın değerinin 4 olması durumunda $a+b = 4 + (-1) = 3$ olması demektir.
Sonuç olarak, $a+b = 3$'tür.
Cevap C seçeneğidir
