Bu soruda, artan bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki en büyük değerini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Artan Fonksiyon Ne Demektir?
- Bir fonksiyonun artan olması demek, tanım kümesindeki $x$ değerleri büyüdükçe, fonksiyonun aldığı $f(x)$ değerlerinin de büyümesi (veya en azından küçülmemesi) demektir. Matematiksel olarak ifade edersek, eğer $x_1 < x_2$ ise, bu durumda $f(x_1) \le f(x_2)$ olur. Yani, $x$ değerleri sağa doğru ilerledikçe, fonksiyonun grafiği yukarı doğru çıkar veya yatay kalır.
- 2. Fonksiyonun Tanım Aralığı (Domain):
- Soruda bize verilen $f: [-2, 5] \rightarrow R$ ifadesi, fonksiyonun tanım kümesinin $[-2, 5]$ kapalı aralığı olduğunu gösterir. Bu, $x$ değerlerinin $-2$ ile $5$ arasında ($-2$ ve $5$ dahil) herhangi bir değer alabileceği anlamına gelir.
- Bu aralıktaki en küçük $x$ değeri $-2$, en büyük $x$ değeri ise $5$'tir.
- 3. Artan Fonksiyonlarda En Büyük Değer:
- Bir fonksiyon artan olduğunda, tanım aralığındaki en büyük $x$ değeri için fonksiyon da en büyük değerini alır. Çünkü $x$ arttıkça $f(x)$ de artar. Fonksiyonun grafiği sürekli yükseldiği için, en sağdaki noktada en yüksek seviyesine ulaşacaktır.
- Bizim durumumuzda, tanım aralığındaki en büyük $x$ değeri $5$'tir.
- Dolayısıyla, $f$ fonksiyonunun alabileceği en büyük değer, $x=5$ noktasındaki fonksiyon değeri olan $f(5)$ olacaktır.
- 4. Seçeneklerin Değerlendirilmesi:
- A) $f(-2)$: Bu, tanım aralığındaki en küçük $x$ değeri için fonksiyonun aldığı değerdir. Artan bir fonksiyon için bu, en küçük değeri temsil eder.
- B) $f(0)$: Bu, aralık içindeki bir değerdir, ancak en büyük $x$ değeri değildir. Dolayısıyla $f(5)$'ten daha küçük olacaktır.
- C) $f(5)$: Bu, tanım aralığındaki en büyük $x$ değeri için fonksiyonun aldığı değerdir. Artan bir fonksiyon için bu, en büyük değeri temsil eder.
- D) $f(3)$: Bu da aralık içindeki bir değerdir, ancak en büyük $x$ değeri değildir. Dolayısıyla $f(5)$'ten daha küçük olacaktır.
Bu adımları takip ettiğimizde, artan bir fonksiyonun verilen kapalı bir aralıktaki en büyük değerini, aralığın sağ ucundaki $x$ değeri için aldığını açıkça görürüz.
Cevap C seçeneğidir.
