f: [-2, 4] → R, f(x) = 2x - 1 fonksiyonu veriliyor. Buna göre fonksiyonun görüntü kümesi nedir?
A) [-5, 7]Fonksiyonun Görüntü Kümesini Bulma Adımları:
1. Fonksiyonu ve Tanım Kümesini Anlayalım:
Bize verilen fonksiyon $f(x) = 2x - 1$'dir. Bu fonksiyonun tanım kümesi (yani $x$ değerlerinin alabileceği aralık) $D_f = [-2, 4]$ olarak verilmiştir. Bu, $x$ değerlerinin $-2$ ile $4$ arasında, bu iki değer de dahil olmak üzere, değişebileceği anlamına gelir.
Görüntü kümesi ise, tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(x)$'in alabileceği tüm değerlerin kümesidir. Amacımız bu kümenin sınırlarını bulmaktır.
2. Fonksiyonun Türünü Belirleyelim ve Monotonluğunu İnceleyelim:
$f(x) = 2x - 1$ ifadesi bir doğrusal fonksiyondur. Doğrusal fonksiyonlar, tanım kümesi üzerinde sürekli ve monoton (ya sürekli artan ya da sürekli azalan) özellik gösterirler.
Bir doğrusal fonksiyonun monotonluğunu (artan mı azalan mı olduğunu) $x$'in katsayısı (eğim) belirler. Burada $x$'in katsayısı $2$'dir. $2 > 0$ olduğu için, $f(x)$ fonksiyonu artan bir fonksiyondur.
Artan bir fonksiyonda, tanım kümesinin en küçük $x$ değeri, görüntü kümesinin en küçük $f(x)$ değerini verir. Tanım kümesinin en büyük $x$ değeri ise, görüntü kümesinin en büyük $f(x)$ değerini verir.
3. Tanım Kümesinin Uç Noktalarındaki Görüntü Değerlerini Hesaplayalım:
Tanım kümemiz $[-2, 4]$ olduğu için, $x$ değerleri $-2$'den $4$'e kadar değişir. Artan bir fonksiyon olduğu için, bu uç noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayarak görüntü kümesinin sınırlarını bulabiliriz:
4. Görüntü Kümesini Oluşturalım:
Fonksiyonumuz artan olduğu için, $x$ değerleri $-2$'den $4$'e doğru arttıkça, $f(x)$ değerleri de $-5$'ten $7$'ye doğru artacaktır. Tanım kümesi kapalı bir aralık (uç noktaları dahil) olduğu için, görüntü kümesi de kapalı bir aralık olacaktır.
Bu durumda, fonksiyonun görüntü kümesi $[-5, 7]$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
