Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, verilen iki aralık kümesi arasındaki fark kümesinin uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyerek konuyu pekiştirelim.
Adım 1: Kümeleri Anlayalım
Öncelikle, bize verilen kümelerin ne anlama geldiğini netleştirelim. Sayı doğrusu üzerinde bu kümeleri hayal etmek, problemi çözmek için çok yardımcı olacaktır.
- $A = (-2, 5]$ kümesi, $-2$'den büyük ve $5$'e eşit veya $5$'ten küçük tüm gerçek sayıları içerir. Yani $x$ için $-2 < x \le 5$ koşulunu sağlayan değerlerdir. Burada parantez '(', $-2$'nin kümeye dahil olmadığını; köşeli parantez ']', $5$'in kümeye dahil olduğunu gösterir.
- $B = [0, 3]$ kümesi, $0$'a eşit veya $0$'dan büyük ve $3$'e eşit veya $3$'ten küçük tüm gerçek sayıları içerir. Yani $x$ için $0 \le x \le 3$ koşulunu sağlayan değerlerdir. Burada her iki taraftaki köşeli parantez '[]', $0$ ve $3$ sayılarının kümeye dahil olduğunu gösterir.
Adım 2: Fark Kümesi $A \setminus B$'yi Tanımlayalım
$A \setminus B$ (A fark B) kümesi, $A$ kümesinde olup $B$ kümesinde olmayan tüm elemanlardan oluşur. Başka bir deyişle, $A$ kümesinden, $B$ kümesiyle ortak olan kısımlarını çıkarırız.
- Sayı doğrusunda $A$ kümesi $(-2, 5]$ aralığını kaplar.
- $B$ kümesi ise $[0, 3]$ aralığını kaplar.
- $A \setminus B$ kümesini bulmak için, $A$ kümesinin $B$ ile kesişen kısmını ($A \cap B$) $A$'dan çıkarmalıyız.
- $A$ ve $B$ kümelerinin kesişimi ($A \cap B$) hangi aralıktır? $A = (-2, 5]$ ve $B = [0, 3]$ kümelerinin ortak elemanları $[0, 3]$ aralığıdır. Çünkü $0$ ve $3$ her iki aralıkta da bulunur ve aralarındaki tüm sayılar da her iki aralıkta yer alır.
Adım 3: $A \setminus B$ Kümesini Bulalım
$A$ kümesinden, $A \cap B$ olan $[0, 3]$ aralığını çıkaralım:
- $A = (-2, 5]$
- $A \cap B = [0, 3]$
- $A \setminus B = (-2, 5] \setminus [0, 3]$
- Bu çıkarma işlemini sayı doğrusu üzerinde düşünürsek, $(-2, 5]$ aralığından $[0, 3]$ aralığını çıkardığımızda geriye iki ayrı parça kalır.
- Birinci parça: $-2$'den $0$'a kadar olan kısım. $0$ sayısı $B$ kümesinde olduğu için bu kısım $0$'ı içermez. Yani $(-2, 0)$ aralığıdır.
- İkinci parça: $3$'ten $5$'e kadar olan kısım. $3$ sayısı $B$ kümesinde olduğu için bu kısım $3$'ü içermez. Yani $(3, 5]$ aralığıdır.
- Dolayısıyla, $A \setminus B = (-2, 0) \cup (3, 5]$ kümesidir.
Adım 4: $A \setminus B$ Kümesinin Uzunluğunu Hesaplayalım
Bir aralığın uzunluğu, bitiş noktasından başlangıç noktasının çıkarılmasıyla bulunur. İki ayrı aralıktan oluşan bir kümenin uzunluğu ise bu aralıkların uzunluklarının toplamıdır.
- Birinci aralık: $(-2, 0)$
- Uzunluğu: $0 - (-2) = 0 + 2 = 2$ birimdir.
- İkinci aralık: $(3, 5]$
- Uzunluğu: $5 - 3 = 2$ birimdir.
- $A \setminus B$ kümesinin toplam uzunluğu, bu iki aralığın uzunluklarının toplamıdır: $2 + 2 = 4$ birimdir.
Bu adımları takip ettiğimizde, $A \setminus B$ fark kümesinin uzunluğunun $4$ birim olduğunu buluruz.
Cevap B seçeneğidir.
