Üslü sayılarda bölme nasıl yapılır Test 1

\( \frac{12^{15}}{3^{14} \cdot 4^{15}} \) işleminin sonucu kaçtır?

A) 3
B) 4
C) 9
D) 12

Üslü sayılarla ilgili bu problemi çözmek için adım adım ilerleyelim. Amacımız, ifadeyi en sade haline getirerek sonuca ulaşmaktır. Bu tür problemlerde, tabanları ortak hale getirmek veya çarpanlarına ayırmak genellikle en etkili yöntemdir.

• Adım 1: Paydaki Sayıyı Çarpanlarına Ayıralım

Verilen ifade $ \frac{12^{15}}{3^{14} \cdot 4^{15}} $ şeklindedir.

Pay kısmındaki $12$ sayısını, paydadaki $3$ ve $4$ sayılarıyla ilişkilendirebiliriz. Bildiğimiz gibi $12 = 3 \cdot 4$'tür. Bu bilgiyi kullanarak pay kısmını yeniden yazalım:

$ 12^{15} = (3 \cdot 4)^{15} $

Üslü sayılar kuralına göre $ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n $ olduğundan, $ (3 \cdot 4)^{15} = 3^{15} \cdot 4^{15} $ olur. Bu adım, ifademizi sadeleştirmek için bize büyük bir avantaj sağlar.

• Adım 2: İfadeyi Yeniden Düzenleyelim

Şimdi bu yeni hali orijinal ifadeye yerleştirelim. Böylece tüm terimler $3$ ve $4$ tabanında yazılmış olacak:

$ \frac{3^{15} \cdot 4^{15}}{3^{14} \cdot 4^{15}} $

Gördüğünüz gibi, hem payda hem de paydada ortak tabanlar ve üsler oluştu. Bu, sadeleştirme için harika bir fırsat!

• Adım 3: Ortak Terimleri Sadeleştirelim

İfadeyi, aynı tabana sahip üslü sayıları bir araya getirerek sadeleştirebiliriz. Bu, işlemi daha anlaşılır hale getirir:

$ \left( \frac{3^{15}}{3^{14}} \right) \cdot \left( \frac{4^{15}}{4^{15}} \right) $

Şimdi her bir parantez içindeki ifadeyi ayrı ayrı sadeleştirelim:

• İlk parantez için $ \frac{3^{15}}{3^{14}} $: Üslü sayılar kuralına göre, tabanlar aynı olduğunda bölme işleminde üsler çıkarılır ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $). Bu durumda, $ 3^{15-14} = 3^1 = 3 $ olur.
• İkinci parantez için $ \frac{4^{15}}{4^{15}} $: Aynı sayının kendisine bölümü her zaman $1$'dir. Veya üsler çıkarıldığında $ 4^{15-15} = 4^0 = 1 $ olur.

Bu durumda, ifademiz $ 3 \cdot 1 $ haline gelir. Artık sonuca çok yakınız!

• Adım 4: Sonucu Bulalım

Elde ettiğimiz değerleri çarptığımızda sonuca ulaşırız:

$ 3 \cdot 1 = 3 $

İşlemin sonucu $3$'tür.

Cevap B seçeneğidir.