Üslü sayılarda bölme nasıl yapılır Test 1

\( \frac{16^n \cdot 81^n}{6^{4n}} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) 1
B) 6
C) 12
D) 24

Sevgili öğrenciler, bu tür üslü ifadeler içeren işlemleri çözerken temel amacımız, tabanları aynı hale getirmek veya ifadeleri en sade hallerine indirgemektir. Genellikle bu, tabanları asal çarpanlarına ayırarak yapılır. Şimdi adım adım bu işlemi çözelim:

• Adım 1: Tabanları asal çarpanlarına ayırma.

  İşlemimizdeki sayıların tabanlarını asal çarpanlarına ayıralım:

  • $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$
  • $81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$
  • $6 = 2 \cdot 3$
• Adım 2: Ayırdığımız çarpanları ifadede yerine yazma.

  Şimdi bu asal çarpanları orijinal ifademizde yerine koyalım:

  $ \frac{(2^4)^n \cdot (3^4)^n}{(2 \cdot 3)^{4n}} $

• Adım 3: Üslü sayı kurallarını uygulama.

  Üslü sayılarda $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$ ve $(a \cdot b)^c = a^c \cdot b^c$ kurallarını uygulayalım:

  • Pay kısmındaki $(2^4)^n$ ifadesi $2^{4 \cdot n} = 2^{4n}$ olur.
  • Pay kısmındaki $(3^4)^n$ ifadesi $3^{4 \cdot n} = 3^{4n}$ olur.
  • Payda kısmındaki $(2 \cdot 3)^{4n}$ ifadesi $2^{4n} \cdot 3^{4n}$ olur.

  Böylece ifademiz şu hale gelir:

  $ \frac{2^{4n} \cdot 3^{4n}}{2^{4n} \cdot 3^{4n}} $

• Adım 4: İfadeyi sadeleştirme.

  Gördüğümüz gibi, pay ve payda tamamen aynı ifadelerden oluşmaktadır. Bir sayının kendisine bölümü her zaman $1$'dir (sıfır hariç). Burada $2^{4n} \cdot 3^{4n}$ ifadesi sıfır olamayacağı için, bu ifadeyi kendisine böldüğümüzde sonuç $1$ olacaktır.

  $ \frac{2^{4n} \cdot 3^{4n}}{2^{4n} \cdot 3^{4n}} = 1 $

Bu durumda işlemin sonucu $1$'dir.

Cevap A seçeneğidir.