$P(x) = x^3 - 2x^{\sqrt{4}} + 5$ ifadesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Polinomdur çünkü tüm kuvvetler tam sayıdır
B) Polinom değildir çünkü $\sqrt{4}$ irrasyonel sayıdır
C) Polinomdur çünkü $\sqrt{4} = 2$ tam sayıdır
D) Polinom değildir çünkü sabit terim yoktur
Sevgili öğrenciler, bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamak için değişkenlerin (burada $x$) kuvvetlerine (üslerine) dikkat etmemiz gerekir.
- Polinom Tanımı: Bir ifadenin polinom olabilmesi için, değişkenlerin tüm kuvvetlerinin doğal sayı olması gerekir. Doğal sayılar $0, 1, 2, 3, ...$ şeklinde olan sayılardır. Yani kuvvetler negatif veya kesirli (rasyonel olmayan) olamaz.
- Şimdi verilen ifadeye bakalım: $P(x) = x^3 - 2x^{\sqrt{4}} + 5$.
- Bu ifadede $x$'in kuvvetlerini tek tek inceleyelim:
- Birinci terimdeki $x$'in kuvveti $3$'tür. $3$ bir doğal sayıdır. Bu terim polinom şartını sağlar.
- İkinci terimdeki $x$'in kuvveti $\sqrt{4}$'tür. Bu ifadeyi incelememiz gerekiyor.
- Üçüncü terim olan $5$ bir sabit terimdir. Sabit terimler aslında $5x^0$ olarak düşünülebilir ve $0$ da bir doğal sayıdır. Bu terim de polinom şartını sağlar.
- Şimdi kritik olan ikinci terimdeki kuvvet olan $\sqrt{4}$'ü hesaplayalım. $\sqrt{4}$ demek, hangi sayının karesi $4$ eder demektir. Bu sayı $2$'dir. Yani $\sqrt{4} = 2$.
- $\sqrt{4}$ yerine $2$ yazarsak, $P(x)$ ifadesi şu hale gelir: $P(x) = x^3 - 2x^2 + 5$.
- Bu yeni ifadede $x$'in kuvvetleri $3$, $2$ ve (sabit terim için) $0$'dır. $3$, $2$ ve $0$ sayılarının hepsi doğal sayıdır.
- Dolayısıyla, $P(x)$ ifadesi bir polinomdur.
- Şimdi seçenekleri değerlendirelim:
- A) Polinomdur çünkü tüm kuvvetler tam sayıdır: Bu ifade doğruya yakın olsa da, polinom tanımı için kuvvetlerin "doğal sayı" (yani negatif olmayan tam sayı) olması şartı daha kesindir. Ancak $\sqrt{4}$'ün tam sayı olduğunu belirtmeden genel bir ifade olduğu için tam açıklayıcı değildir.
- B) Polinom değildir çünkü $\sqrt{4}$ irrasyonel sayıdır: Bu yanlıştır. Çünkü $\sqrt{4} = 2$ ve $2$ bir rasyonel sayıdır (hatta bir tam sayıdır). İrrasyonel sayı değildir.
- C) Polinomdur çünkü $\sqrt{4} = 2$ tam sayıdır: Bu ifade hem doğru sonucu (polinomdur) vermekte hem de bunun nedenini (kuvvetin $2$ gibi bir tam sayı olması) açıkça belirtmektedir. $2$ aynı zamanda bir doğal sayı olduğu için polinom tanımına uyar. Bu en doğru açıklamadır.
- D) Polinom değildir çünkü sabit terim yoktur: Bu yanlıştır. İfadede $5$ sabit terim olarak bulunmaktadır.
Bu analizlere göre, en doğru ve açıklayıcı seçenek C seçeneğidir.
Cevap C seçeneğidir.
