Bir üçgende yüksekliklerin konumu, üçgenin açı türleriyle yakından ilişkilidir. Bu soruyu çözmek için üçgenlerin yükseklik özelliklerini hatırlayalım:
- Eğer bir üçgenin bir açısı geniş açı (obtuse angle) ise, bu geniş açıyı oluşturan kenarlara ait yükseklikler (yani geniş açının komşu kenarlarına inen yükseklikler) üçgenin dışında kalır.
- Geniş açılı bir üçgende, geniş açının karşısındaki kenara ait yükseklik ise üçgenin içinde kalır.
- Dar açılı bir üçgende tüm yükseklikler üçgenin içinde kalır.
- Dik açılı bir üçgende, dik açıyı oluşturan kenarlara ait yükseklikler, üçgenin kenarlarıyla çakışır (üçgenin üzerindedir). Dik açının karşısındaki kenara ait yükseklik ise üçgenin içinde kalır.
Şimdi sorudaki bilgiyi inceleyelim:
- "Bir DEF üçgeninde, üçgenin EF ve ED kenarlarına ait yükseklikleri üçgenin dışında kalmaktadır."
- EF kenarına ait yükseklik, D köşesinden EF kenarına inen yüksekliktir ($h_D$).
- ED kenarına ait yükseklik, F köşesinden ED kenarına inen yüksekliktir ($h_F$).
- Bu iki yüksekliğin de üçgenin dışında kalması, D ve F köşelerinin ait olduğu kenarlar olan EF ve ED'nin, üçgenin geniş açısını oluşturan kenarlar olduğunu gösterir.
- Bu durumda, D ve F köşelerinin ortak kenarı olan E açısı geniş açı olmak zorundadır. Yani, $m(\angle E) > 90^\circ$.
- Bir üçgende en fazla bir tane geniş açı bulunabilir. Bu durumda, E açısı geniş açı olduğuna göre, D ve F açıları dar açı olmak zorundadır. Yani, $m(\angle D) < 90^\circ$ ve $m(\angle F) < 90^\circ$.
Bu bilgiler ışığında seçenekleri değerlendirelim:
- A) DF kenarına ait yükseklik üçgenin içinde kalır.
- E açısı geniş açı olduğuna göre, DF kenarı bu geniş açının karşısındaki kenardır. Geniş açılı bir üçgende, geniş açının karşısındaki kenara ait yükseklik (yani E köşesinden DF kenarına inen yükseklik, $h_E$) her zaman üçgenin içinde kalır. Bu ifade DOĞRUDUR.
- B) D açısı dar açıdır.
- E açısı geniş açı olduğu için, diğer açılar olan D ve F açıları dar açı olmak zorundadır. Bu ifade DOĞRUDUR.
- C) E açısı geniş açıdır.
- Yukarıdaki analizimizde de belirttiğimiz gibi, EF ve ED kenarlarına ait yüksekliklerin üçgen dışında kalması, E açısının geniş açı olduğunu gösterir. Bu ifade DOĞRUDUR.
- D) F açısı geniş açıdır.
- E açısı geniş açı olduğu için, F açısı dar açı olmak zorundadır. Bu ifade YANLIŞTIR.
Soru bizden yanlış olan ifadeyi bulmamızı istediği için, doğru cevap D seçeneğidir.
Cevap D seçeneğidir.
