Eşkenar üçgende yükseklik nedir? Test 1

Eşkenar üçgende yükseklik ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A) Yükseklik kenar uzunluğundan büyüktür
B) Yükseklik kenar uzunluğunun yarısından küçüktür
C) Yükseklik kenar uzunluğunun \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) katıdır
D) Yükseklik kenar uzunluğunun \(\sqrt{2}\) katıdır

Merhaba sevgili öğrenciler!

Eşkenar üçgende yükseklik ile ilgili bu soruyu adım adım, dikkatlice inceleyelim ve doğru cevabı birlikte bulalım.

• 1. Eşkenar Üçgenin Özelliklerini Hatırlayalım:

  Bir eşkenar üçgenin en temel özelliği, tüm kenar uzunluklarının birbirine eşit olması ve tüm iç açılarının $60^\circ$ olmasıdır. Bir kenar uzunluğuna $a$ diyelim.

• 2. Yüksekliği Çizelim ve Bir Dik Üçgen Oluşturalım:

  Bir eşkenar üçgende, bir köşeden karşı kenara indirilen yükseklik (h), aynı zamanda o kenarı iki eşit parçaya böler ve o köşedeki açıyı da iki eşit parçaya böler. Bu durumda, yüksekliği çizdiğimizde, eşkenar üçgeni iki tane eş dik üçgene ayırmış oluruz.

  Bu dik üçgenlerden birini ele alalım:

  • Hipotenüsü, eşkenar üçgenin bir kenarıdır ($a$).
  • Dik kenarlardan biri, eşkenar üçgenin yüksekliğidir ($h$).
  • Diğer dik kenar ise, eşkenar üçgenin kenarının yarısıdır ($\frac{a}{2}$).
  • Bu dik üçgenin açıları ise $30^\circ$, $60^\circ$ ve $90^\circ$'dir.

• 3. Yüksekliği Bulmak İçin Pisagor Teoremini veya Trigonometriyi Kullanalım:

  Yöntem 1: Pisagor Teoremi ile

  Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Yani, $a^2 = b^2 + c^2$.

  Bizim dik üçgenimizde hipotenüs $a$, dik kenarlar $h$ ve $\frac{a}{2}$'dir. Formülü uygulayalım:

  • $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2$
  • $h^2 + \frac{a^2}{4} = a^2$
  • Şimdi $h^2$'yi yalnız bırakalım: $h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$
  • Paydaları eşitleyelim: $h^2 = \frac{4a^2}{4} - \frac{a^2}{4}$
  • $h^2 = \frac{3a^2}{4}$
  • Her iki tarafın karekökünü alalım: $h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$
  • $h = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{a^2}}{\sqrt{4}}$
  • $h = \frac{\sqrt{3}a}{2}$

  Yöntem 2: Trigonometri ile (Daha Hızlı Bir Yol)

  Oluşan $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ üçgeninde, $60^\circ$'lik açının karşısındaki kenar yükseklik ($h$), hipotenüs ise $a$'dır.

  Sinüs fonksiyonunu hatırlayalım: $\sin(\text{açı}) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}}$

  • $\sin(60^\circ) = \frac{h}{a}$
  • $\sin(60^\circ)$'nin değerini biliyoruz: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
  • Bu durumda: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{a}$
  • $h$'yi yalnız bırakmak için $a$'yı karşıya çarpım olarak atalım: $h = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ veya $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

• 4. Seçenekleri Değerlendirelim:

  Bulduğumuz sonuç $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ şeklindedir. Şimdi seçeneklere bakalım:

  • A) Yükseklik kenar uzunluğundan büyüktür: Yanlış. Çünkü $\frac{\sqrt{3}}{2}$ yaklaşık $0.866$'dır, yani $1$'den küçüktür.
  • B) Yükseklik kenar uzunluğunun yarısından küçüktür: Yanlış. Çünkü $\frac{\sqrt{3}}{2}$ yaklaşık $0.866$'dır, $1/2 = 0.5$'ten büyüktür.
  • C) Yükseklik kenar uzunluğunun $\frac{\sqrt{3}}{2}$ katıdır: Doğru. Hesaplamalarımızla tamamen eşleşiyor.
  • D) Yükseklik kenar uzunluğunun $\sqrt{2}$ katıdır: Yanlış. $\sqrt{2}$ yaklaşık $1.414$'tür.

Cevap C seçeneğidir.