p: "∃x ∈ Z, x² = 4"
q: "∀x ∈ R, x² ≥ 0"
önermeleri veriliyor. Buna göre p ∨ q bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir?
Verilen önermelerin doğruluk değerlerini adım adım inceleyelim:
$p$: "$\exists x \in Z, x^2 = 4$" önermesi, "Karesi 4 olan en az bir tam sayı vardır." anlamına gelir.
$x^2 = 4$ denklemini çözdüğümüzde, $x = \sqrt{4}$ veya $x = -\sqrt{4}$ değerlerini buluruz. Bu da $x = 2$ veya $x = -2$ demektir.
$2$ ve $-2$ sayıları birer tam sayıdır ($2 \in Z$ ve $-2 \in Z$). Dolayısıyla, karesi 4 olan tam sayılar mevcuttur (örneğin $x=2$ veya $x=-2$).
Bu nedenle, $p$ önermesi doğrudur. Yani, $p \equiv 1$.
$q$: "$\forall x \in R, x^2 \geq 0$" önermesi, "Her gerçek sayının karesi sıfırdan büyük veya eşittir." anlamına gelir.
Gerçek sayılar kümesindeki herhangi bir sayının (pozitif, negatif veya sıfır) karesi daima sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür. Örneğin:
Eğer $x = 3$ ise, $x^2 = 3^2 = 9 \geq 0$.
Eğer $x = -5$ ise, $x^2 = (-5)^2 = 25 \geq 0$.
Eğer $x = 0$ ise, $x^2 = 0^2 = 0 \geq 0$.
Bu, gerçek sayıların temel bir özelliğidir.
Bu nedenle, $q$ önermesi doğrudur. Yani, $q \equiv 1$.
Şimdi $p$ ve $q$ önermelerinin doğruluk değerlerini kullanarak $p \lor q$ bileşik önermesinin doğruluk değerini belirleyelim.
Bulduğumuz değerler: $p \equiv 1$ ve $q \equiv 1$.
Veya ($\lor$) bağlacının doğruluk tablosuna göre, iki önermeden en az biri doğru olduğunda bileşik önerme doğru olur. Her iki önerme de doğru olduğunda da bileşik önerme doğrudur.
$p \lor q \equiv 1 \lor 1 \equiv 1$.
Dolayısıyla, $p \lor q$ bileşik önermesinin doğruluk değeri 1'dir.
Cevap B seçeneğidir.
